In un articolo precedente, abbiamo cercato di rispondere alla domanda: dati un gruppo $K$ e un gruppo quoziente $G/K$, è possibile ricostruire il gruppo $G$? Abbiamo visto che ciò è possibile nel caso in cui l’ordine di $K$ e $G/K$ sono coprimi tra loro: in tal caso $G$ è ricostruibile ma non unico, ed è un qualche prodotto semidiretto dei due gruppi. Il concetto di estensione di gruppo si occupa del caso generale, in cui non abbiamo condizione alcuna sui due gruppi.
Definizione. (Estensione) Per dire che $G$ è un’estensione di $H$ tramite $K$, scriviamo $\require{AMScd}$
\begin{CD}
1 @>i_0>> K @>i_1>> G @>i_2>> H @>i_3>> 1
\end{CD}
Questa notazione, detta successione esatta corta, è un po’ strana ma ci si abitua. Con $1$ intendiamo il gruppo con un solo elemento. Le frecce invece indicano degli omomorfismi, con la proprietà che $\mathrm{im}(i_k) = \ker{i_{k+1}}$. Per cui in pratica:
- C’è un unico omomorfismo $i_0 : 1 \to K$ dato da $i_0(1)=1$. Per cui $\mathrm{im}(i_0) = \{1\}$.
- $i_1: K \to G$ è un qualche omomorfismo. Tuttavia sappiamo che dev’essere $\ker{i_1}= \mathrm{im}(i_0) = \{1\}$, per cui $i_1$ è iniettivo.
- Facciamo prima $i_3: H \to 1$ e anche qui abbiamo una sola scelta, $i_3(x) = 1$, per cui $\ker{i_3} = H$.
- A questo punto $i_2: K \to G$ è un qualche omomorfismo con $\mathrm{im}(i_2) = \ker{i_{3}}=H$ per cui $i_1$ è suriettivo. Inoltre avremo anche $\ker{i_2} = \mathrm{im}(i_1) = K$.
Dato che $i_0$ e $i_3$ sono uniche, di solito si scrive la successione esatta corta
\begin{CD}
1 @>>> K @>i>> G @>j>> H @>>> 1
\end{CD}
dove è sottinteso che $i$ è iniettivo e $j$ è suriettivo. In questo caso, diciamo che $G$ è un’estensione di $H$ tramite $K$.
Ora, avendo questa estensione possiamo applicare il primo teorema dell’isomorfismo alla mappa $j$ ottenendo:
$$G/\ker{j} \cong \mathrm{im}j\,\,\,\,\,\,\,\,\,\implies\,\,\,\,\,\,\,\,\, G/K \cong H$$
Per cui un’estensione è equivalente ad un quoziente. Poiché come abbiamo visto nello scorso articolo tutti i prodotti diretti e semidiretti sono dei quozienti, ma non viceversa, in generale il concetto di estensione è una generalizzazione del prodotto diretto e semidiretto.
Inoltre, diciamo che un’estensione è centrale se $K < Z(G)$; cioè se $K$, visto come sottogruppo di $G$ (volendo, in modo preciso, $i(K) \subset G$) si trova nel centro di $G$. Il motivo per cui ci interessano le estensioni centrali è la facilità di classificazione, cioè data un’estensione centrale abbiamo dei modi per trovare tutti i gruppi $G$ che sono un’estensione centrale di $H$ tramite $K$. Ma questo lo vedremo nel prossimo articolo.
Un altro tipo di estensione facilmente classificabile è una cosiddetta estensione spezzata. Diciamo che
\begin{CD}
1 @>>> K @>i>> G @>j>> H @>>> 1
\end{CD}
si spezza se esiste un’omomorfismo $s: H \to G$ tale che $j \circ s = \mathrm{id}$. In tal caso, l’estensione è un prodotto semidiretto. Infatti
Proposizione. Un gruppo $G$ è un prodotto semidiretto di $H$ e $K$, diciamo $G = H \ltimes K$ se e solo se $G$ è un’estensione spezzata di $H$ tramite $K$.
Dimostrazione. Prima di tutto, se $G = H \ltimes K$, allora $K$ è normale in $G$ e $H = G/K$ per cui abbiamo un’estensione
\begin{CD}
1 @>>> K @>>> G @>>> H @>>> 1
\end{CD}
e l’estensione è spezzata dall’inclusione $H \to G$. Infatti poiché $G$ è un prodotto semidiretto, un elemento generico $g \in G$ è dato da $g = (h, k)$. Allora la mappa $H \to G$ definita tramite $h \to (h, 1)$ è un omomorfismo.
Al contrario, se abbiamo un’estensione
\begin{CD}
1 @>>> K @>i>> G @>j>> H @>>> 1
\end{CD}
spezzata da una mappa $s$, cioè $s$ è un omomorfismo $s: H\to G$ tale che $j \circ s = \mathrm{id}$, allora possiamo costruire un prodotto semidiretto. Ovvero ci serve un’azione del sottogruppo non normale $H$ su quello normale $K$. Possiamo definire un’azione di $H$ su $G$ tramite coniugazione: $g \to s(h)^{-1} g s(h)$. Poiché $K$ è normale in $G$, cosa che segue dall’estensione, restringendo l’azione ad $K$ otteniamo un’azione di $H$ su $K$ che è quella che mettiamo nella moltiplicazione del prodotto semidiretto. $\square$.
Applicazione alla classificazione dei gruppi finiti
Il concetto di estensione è la motivazione alla base della classificazione dei gruppi semplici finiti. Un gruppo semplice è un gruppo i cui unici sottogruppi normali sono $1$ e se stesso. Abbiamo i due seguenti risultati, la cui dimostrazione non è difficile:
- Ogni gruppo finito ha un sottogruppo normale massimale;
- Se $K$ è un sottogruppo normale massimale di $G$, allora $G/K$ è semplice;
Pertanto possiamo ridurre $G$ ad una collezione di gruppi semplici nel modo seguente: troviamo un sottogruppo massimale $K$ e concludiamo che $G$ è un’estensione di $K$ e $G/K$, che è semplice; a questo punto se $K$ è semplice abbiamo finito, altrimenti ripetiamo la procedura: troviamo un sottogruppo massimale e quozientiamo. Poiché i gruppi sono gruppi finiti, l’ordine dei gruppi coinvolti diminuisce ad ogni iterazione e quindi alla fine otteniamo che ogni gruppo $G$ è equivalente ad una serie di estensioni di gruppi semplici finiti.
In realtà, dati due gruppi $H$ e $K$, è in genere molto difficile trovare tutte le estensioni di $H$ tramite $K$. L’utilizzo principale della classificazione dei gruppi finiti è un altro: sapendo che ogni gruppo è equivalente ad una serie di estensioni di gruppi semplici, possiamo ridurre la dimostrazione di una certa proprietà per tutti i gruppi alla dimostrazione della proprietà per i soli gruppi semplici; poiché questi sono tutti noti, la proprietà può essere controllata manualmente.
Nel prossimo articolo discuteremo del modo in cui è possibile classificare le estensioni centrali.