Un’ipersuperficie è una superficie di dimensione $d-1$ in uno spazio tempo $d-$dimensionale.
Normale ad un’ipersuperficie
Una delle quantità più importanti associate ad un’ipersuperficie $\Sigma$ in uno spaziotempo $\mathcal{M}$ è la sua normale. Data un’ipersuperficie definita da $f=0$ per una qualche funzione $f$, una normale è data dalla $1$-forma $df$. Infatti se $X$ è un vettore tangente alla superficie allora $df \cdot X = X(f) = X^\mu \partial_\mu f =0$, perché $f$ è costante lungo la superficie. In questo caso $df$ è un covettore e volendo possiamo alzarne l’indice usando la metrica.
Non è detto che $df$ sia l’unica normale. Data un’altra $1$-forma $n$ normale a $\Sigma$ questa sarà collegata a $f$ dalla formula: $n=g df +fm$ dove $m$ è una $1$-forma, in modo tale che $n|_\Sigma \propto df$. Per cui abbiamo $dn = (dg-m) \wedge df +fdm$. Quindi $dn|_\Sigma = (dg-m) \wedge df$ e $(n \wedge dn) |_\Sigma = 0$. In generale abbiamo il seguente teorema:
Teorema (Frobenius) La $1$-forma $n$ è tangente all’ipersuperficie $\Sigma$ se e solo se $(n \wedge dn) |_\Sigma = 0$.
Ne segue il corollario: se lo spaziotempo $\mathcal{M}$ ammette una $1$-forma $n$ tale che $n \wedge dn = 0$ dappertutto, allora $\mathcal{M}$ può essere foliato in ipersuperfici normali a $\Sigma$.
Tipologia delle ipersuperfici
In base alla normale $n$, possiamo distinguere le ipersuperfici. Infatti se
$$ n\,\mathrm{tipo\,tempo\, su} \,\Sigma \implies \Sigma\, \mathrm{tipo\,spazio}\\
n\,\mathrm{tipo\,spazio\,su} \,\Sigma \implies \Sigma\, \mathrm{tipo\,tempo}\\
n\, \mathrm{nulla\, su} \,\Sigma \implies \Sigma\, \mathrm{nulla}$$
Come abbiamo già visto, un vettore tipo tempo può essere ortogonale soltanto a vettori tipo spazio. Per cui nel primo caso se $n$ è tipo tempo necessariamente tutti i vettori tangenti a $\Sigma$ sono tipo spazio e la superficie è naturalmente tipo spazio. Le ipersuperfici tipo spazio sono largamente usate in relatività.
Se invece la normale è tipo spazio, allora non tutte le tangenti alla superficie sono tipo tempo. Sarebbe più appropriato vedere un’ipersuperficie tipo tempo come un mini spaziotempo di segnatura $(-,+,+)$. Queste superfici sono usate raramente.
Le superfici nulle sono invece superfici la cui normale è nulla. Queste sono spesso ipersuperfici di passaggio tra quelle tipo spazio e tipo tempo e trovano molte applicazioni (ad esempio l’orizzonte degli eventi di un buco nero è una superficie nulla).
Metrica indotta
Data un’ipersuperficie $\Sigma$ in $\mathcal{M}$ con normale $n$ unitaria, cioè $n^a n_a = \pm 1$, se $g_{ab}$ è la metrica su $\mathcal{M}$ allora la metrica indotta su $\Sigma$ è
$$h_{ab} = g_{ab} \pm n_a n_b$$
dove il $+$ si riferisce a normali tipo tempo e il $-$ a normali tipo spazio. Nel caso delle superfici nulle la metrica è degenere, per cui non abbiamo alcuna formula e dobbiamo adottare soluzioni ad hoc. Per ricordarsi il segno basta ricordare che la traccia della metrica dà il numero di dimensioni. Infatti $g^{a}_{\,\,a} = \delta^{a}_{\,\,a} = 4$ e poiché $h$ è la metrica di una superficie tridimensionale, dobbiamo avere $h^{a}_{\,\,a}=3$. Per cui dobbiamo scegliere il segno più o meno per far sì che ciò avvenga, in base al tipo della normale.
Il motivo per cui $h$ è la metrica su $\Sigma$ è che se $X$ e $Y$ sono vettori su $\Sigma$ (quindi ad essa tangenti) allora $g_{ab} X^a Y^b = h_{ab} X^a Y^b$.
Notiamo le utili proprietà $h^{ab} n_a = 0$ e $h^{ab} h_{bc} = h^{a}_{\,\,c}$. Per questo $h^{ab}$ può anche essere usata per proiettare oggetti su $\Sigma$. Bisogna comunque notare che $h^{ab}$ è un tensore sull’intero spaziotempo $\mathcal{M}$ e infatti gli indici $a,b=0,1,2,3$. Ciò è chiarito nell’esempio seguente.
Esempio di metrica indotta: Schwarzschild
Consideriamo lo spaziotempo di Schwarzschild, la cui metrica è data da:
$$ds^2 = -\pqty{1-\frac{2m}{r}}dt^2 +\pqty{1-\frac{2m}{r}}^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega^2$$
Una superficie $t=\mathrm{costante}$ ha per normale $n_a = dt = \partial_\mu t = (1,0,0,0)$. Alzando un indice abbiamo:
$$n^a = g^{ab} n_b = g^{a0}n_0 = (g^{00},0,0,0)=\left(-\pqty{1-\frac{2m}{r}}^{-1},0,0,0\right)$$
E quindi $n^a n_a = -\pqty{1-\frac{2m}{r}}^{-1}$. Per far sì che la normale sia unitaria dobbiamo quindi ridefinirla ponendo
$$m_a = n_a \sqrt{1-\frac{2m}{r}}$$
e questa soddisfa $m_a m^a = -1$. Per cui abbiamo conferma che una superficie $t$ costante è tipo spazio (cosa che ci aspettavamo). La metrica indotta su $\Sigma$ è quindi:
$$h_{ab}=g_{ab}+m_a m_b = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \pqty{1-\frac{2m}{r}}^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^2 \sin{\theta} \end{pmatrix}$$
e vediamo che questa ammette una ovvia interpretazione come metrica di una superficie tridimensionale. Infatti spesso possiamo dimenticarci che $h$ abbia indici quadridimensionali e scriverla con indici tridimensionali. Notiamo che questa è anche la stessa metrica che otteniamo ponendo ingenuamente $dt=0$ in $ds^2$.