Abbiamo calcolato l’equazione classica del razzo. Uno dei problemi in cui incorriamo con queste equazioni è che non c’è alcun limite alla velocità che il razzo può raggiungere. Ma se vogliamo raggiungere una qualche stella vicina dobbiamo andare a velocità vicine a quelle della luce; ci serve quindi un’equazione relativistica del razzo.
Il funzionamento del razzo è lo stesso: spara del combustibile dietro di sé a velocità costante $u$ rispetto al sistema di riferimento in cui il razzo è istantaneamente a riposo.
Chiamiamo $m_0$ la massa a riposo iniziale del razzo e $m$ la massa a riposo del razzo quando il razzo si muove alla velocità $v$ (misurata rispetto al sistema di riferimento iniziale in cui il razzo era a riposo).
In questo processo, poiché ci troviamo in assenza di forze esterne, il quadrimomento totale si conserva. In particolare, sono conservati sia la quantità di moto che l’energia. Per la conservazione della quantità di moto:
$$0 =d(\gamma(v) m v) -\gamma(u_1) u_1 dm$$
dove $u_1 = (u-v)/(1-uv/c^2)$ è la velocità del combustibile espulso, per la formula relativistica di addizione delle velocità.
Per la conservazione dell’energia,
$$ d(\gamma(v) m c^2) = -\gamma(u_1) (dm) c^2$$
Sostituendo la seconda equazione nella prima, otteniamo:
$$d(\gamma(v) m v) = \frac{v-u}{1-v u/c^2} d(\gamma(v) m)$$
e quindi:
$$\frac{d(\gamma m v)}{dv} = \frac{v-u}{1-v u/c^2} \frac{d(\gamma(v) m)}{dv}$$
Poiché $\frac{d(\gamma m v)}{dv} = m\gamma + v \frac{d(\gamma m)}{dv}$, otteniamo:
$$m\gamma = \left(\frac{v-u}{1-v u/c^2}-v\right) \frac{d(\gamma m)}{dv}$$
Integrando:
$$\int_0^v \frac{1}{u} \frac{u v -c^2}{c^2-v^2} dv = \int_{m_0}^{m\gamma} \frac{1}{m\gamma} d(\gamma m)$$
$$-\frac{1}{2} \log{(c^2-v^2)} +\log c -\frac{c}{u} \tanh^{-1} (\frac{v}{c}) + c \tanh^{-1} (0) = \log(m\gamma) -\log(m_0)$$
Diversi termini si semplificano e otteniamo:
$$v = c \tanh\left(\frac{u}{c}\log{\frac{m}{m_0}}\right)$$
Questa è l’equazione relativistica del razzo. Quando $m\to m_0$, abbiamo $\log \to \infty$ ma $\tanh \to 1$, quindi $v \to c$. Poiché $\tanh x \approx x$ per $x$ piccolo, otteniamo nel limite delle velocità non relativistiche l’equazione classica del razzo.