Abbiamo visto che lo spazio degli stati della meccanica quantistica è uno spazio proiettivo, non uno spazio di Hilbert. Infatti dato quest’ultimo, siamo costretti a definire una relazione di equivalenza stabilendo che due stati sono equivalenti se proporzionali:
$$\psi \sim \phi\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \psi = c \phi, \,\,c\neq 0 \in \mathbb{C}$$
A questo punto lo spazio proiettivo è definito come
$$\mathcal{P} = (\mathcal{H}-\{0\})/\sim$$
Sappiamo che $\mathcal{P}$ non è uno spazio vettoriale. Quale struttura ammette? Poiché lo spazio di Hilbert è di solito uno spazio vettoriale complesso, se è finito-dimensionale allora è isomorfo a $\mathbb{C}^n$. Lo spazio proiettivo ad esso associato è detto spazio proiettivo complesso $\mathbb{CP}^{n-1}$ e ha dimensione $n-1$. Ad esempio nel caso $n=2$ (un qubit) $\mathbb{CP}^1$ è la sfera di Bloch.
Spazio proiettivo come varietà
Per dimostrare che $\mathbb{CP}^n$ è una varietà, costruiamo un atlante. In $\mathbb{C}^{n+1}$ abbiamo $n+1$ coordinate $(z_0, z_1, \ldots, z_n)$. Le coordinate su $\mathbb{CP}^n$ sono dette coordinate omogenee $[z_0 : z_1 : \ldots : z_n]$ dove questa notazione sta a indicare la relazione di equivalenza $[z_0 : z_1 : \ldots : z_n] \sim [\lambda z_0 : \lambda z_1 : \ldots : \lambda z_n]$. Le coordinate omogenee sono utili, ma non possono essere un buon sistema di coordinate: infatti ne abbiamo $n+1$, mentre $\mathbb{CP}^n$ ha dimensione $n$.
Per ovviare a questo problema, a partire dalle coordinate omogenee costruiamo un nuovo sistema di coordinate. Definiamo la carta $U_\mu = \{z_\mu \neq 0\} \subset \mathbb{CP}^n$. La carta è ben definita perché $z_\mu \neq 0$ è indipendente da quale rappresentante scegliamo. Su ogni carta $U_\mu$ definiamo le coordinate inomogenee $(\xi^{\mu})_\nu = z_\nu/z_\mu$ dove $\nu \neq \mu$ e $\mu$ è fissato. Ovvero definiamo una mappa $\phi_\mu: U_\mu \to \mathbb{C}^n$ tramite $\phi_\mu ([z_0 : z_1 : \ldots : z_n]) = (z_0 /z_\mu, z_1/ z_\mu, \ldots,z_n/z_\mu) \in \mathbb{C}^n$ e $z_\mu/z_\mu = 1$ è omesso. La mappa è indipendente dal rappresentante scelto ed è ben definita perché su $U_\mu$ $z_\mu \neq 0$. Quando $U_\mu \cap U_\nu \neq \emptyset$ la trasformazione di coordinate $\phi_\nu \circ \phi_\mu^{-1}: \mathbb{C}^{n+1}\to\mathbb{C}^{n+1}$ è data da $(\xi^{\mu})_\lambda \to z_\nu/z_\mu (\xi^{\nu})_\lambda$ che è olomorfa perché la moltiplicazione per un numero complesso è olomorfa.
Possiamo vedere la cosa in un’altra maniera. Abbiamo detto che $\mathbb{CP}^n \cong \mathbb{C}^{n+1}/\sim$, cioè stiamo quozientando rispetto a tutti i numeri complessi nonnulli. Possiamo realizzare il quoziente in due passi: scriviamo $\lambda = |\lambda| e^{i\theta}$. Invece di quozientare subito per $\lambda$, prima quozientiamo via il modulo $|\lambda|$, e poi quozientiamo via le fasi $e^{i\theta}$. Dopo il primo passo otteniamo la sfera $S^{2n+1}$: infatti se $(z_0, z_1, \ldots, z_n)$ soddisfano $|z_0|^2+|z_1|^2 +\ldots + |z_n|^2=R^2$ allora nel quoziente $(z_0, z_1, \ldots, z_n) \sim (z_0/R, z_1/R, \ldots, z_n/R)$ per cui senza perdita di generalità le coordinate nel primo quoziente soddisfano $|z_0|^2+|z_1|^2 +\ldots + |z_n|^2=1$. Identifichiamo quindi $\mathbb{C}^{n+1} \cong \mathbb{R}^{2n+2}$; la condizione $|z_0|^2+|z_1|^2 +\ldots + |z_n|^2=1$ è esattamente quella che identifica la sfera $S^{2n+1}$ in $\mathbb{R}^{2n+2}$. Una volta ottenuta la sfera, quozientiamo via le fasi. Per cui il quoziente è spezzato in due parti:
$$\mathbb{C}^{n+1}-\{0\} \to S^{2n+1} \to \mathbb{CP}^n$$
In altri termini $\mathbb{CP}^n$ è il quoziente di $S^{2n+1}$ per il gruppo delle fasi $S^1 \cong U(1)$. Il secondo quoziente è detto fibrato di Hopf.
Metrica sullo spazio proiettivo
Siamo partiti da uno spazio vettoriale e abbiamo ottenuto una varietà, lo spazio proiettivo. Tuttavia uno spazio di Hilbert ha una struttura in più, cioè un prodotto interno. Possiamo usare il prodotto interno di $\mathcal{H}$ per costruire una metrica indotta su $\mathcal{P}$, detta metrica di Fubini-Study. La definizione è la seguente:
$$d([\psi], [\phi]) = \arccos{\frac{|\braket{\psi}{\phi}|}{\sqrt{\braket{\psi}{\psi}\braket{\phi}{\phi}}}}$$
Per analogia con la formula euclidea, $d([\psi], [\phi])$ sarebbe l’angolo tra i due raggi (ad esempio nel caso bidimensionale, nella sfera di Bloch). Questa metrica è utilizzata ad esempio nella teoria quantistica dell’informazione. Prima di tutto dimostriamo che è una metrica:
Proposizione. La metrica di Fubini Study è una metrica.
Dimostrazione. È abbastanza chiaro che è indipendente da quali rappresentanti scegliamo. Inoltre per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
$$0 \leq \frac{|\braket{\psi}{\phi}|}{\sqrt{\braket{\psi}{\psi}\braket{\phi}{\phi}}} \leq 1$$
Per cui segue che $0 \leq d([\psi], [\phi]) \leq \pi/2$. Inoltre abbiamo chiaramente $d([\psi], [\phi]) = d([\phi], [\psi])$ e $d([\psi], [\psi]) = \arccos{1}=0$. Resta da dimostrare la disuguaglianza triangolare, e seguiamo questa dimostrazione. Partiamo da:
$$d([\psi], [\phi]) \leq d([\psi], [\chi])+d([\chi], [\phi])$$
Poiché la metrica è indipendente dal rappresentante scelto possiamo scegliere $\psi, \phi, \chi$ normalizzati. Siamo anche liberi di sceglierne le tre fasi: le scegliamo in modo tale che $\braket{\psi}{\phi}$, $\braket{\psi}{\chi}$ e $\braket{\phi}{\chi}$ siano reali e positivi. Ciò è possibile perché i prodotti interni hanno tre fasi, e possiamo aggiustare le fasi dei tre oggetti per eliminare quelle dei prodotti interni. Quindi la disuguaglianza diventa:
$$\arccos{\braket{\psi}{\phi}} \leq \arccos{\braket{\psi}{\chi}} + \arccos{\braket{\chi}{\phi}}$$
Il coseno è decrescente in $[0, \pi]$, per cui applicandolo a entrambi i lati dobbiamo invertire la disuguaglianza:
$$\braket{\psi}{\phi} \geq \braket{\psi}{\chi}\braket{\chi}{\phi}-\sqrt{1-\braket{\psi}{\chi}^2}\sqrt{1-\braket{\chi}{\phi}^2}$$
dove abbiamo usato la formula di addizione del coseno e $\sin{(\arccos{x})} = \sqrt{1-x^2}$. Spostando le radici a sinistra e il resto a destra possiamo calcolare il quadrato. Semplificando otteniamo:
$$1-\braket{\psi}{\chi}^2 -\braket{\chi}{\phi}^2 -\braket{\psi}{\phi}^2 + 2\braket{\psi}{\phi}\braket{\psi}{\chi}\braket{\chi}{\phi}\geq 0$$
Ma questo è il determinante della matrice di Gram formata dai tre stati $\psi, \phi, \chi$. Una matrice di Gram è sempre semidefinita positiva, e quindi ha sempre determinante positivo. $\square$
L’arcocoseno non è l’unica funzione che produce una metrica dal prodotto interno $\braket{\psi}{\phi}$. Un’altra scelta ad esempio è la metrica di Bures $\sqrt{2(1-|\braket{\psi}{\phi}|)}$ per due vettori normalizzati. Tuttavia la metrica di Fubini-Study ha delle proprietà particolari: ad esempio è una metrica riemmaniana. Infatti scrivendo:
$$d(\phi,\psi) = \inf_{\gamma:\, \phi \to \psi} \int_\gamma \sqrt{g(\dot\gamma, \dot\gamma)}dt$$
Per un incremento infinitesimale $\phi = \psi + \delta \psi$ il cammino ottimale è una linea retta $\gamma(t)=\psi + t \delta\psi$ per $t \in [0,1]$, così $\dot\gamma = \delta \psi$ e quindi $g(\delta \psi, \delta \psi) = d(\psi, \psi+\delta \psi)^2$. Per semplificare il calcolo evitiamo la notazione di Dirac e scriviamo $\psi$ e $\phi$ in termini delle coordinate omogenee. La metrica è scritta nella maniera seguente:
$$d(Z, W) = \arccos{\frac{|Z_\alpha \overline{W}^\alpha|}{\sqrt{Z_\alpha \overline{Z}^\alpha W_\beta \overline{W}^\beta}}}=\arccos{\sqrt{\frac{Z_\alpha \overline{W}^\alpha W_\beta \overline{Z}^\beta}{Z_\alpha \overline{Z}^\alpha W_\beta \overline{W}^\beta}}}$$
Chiamando $F(Z,W)$ la roba nella radice, cioè $d = \arccos{\sqrt{F}}$, vogliamo espandere $F$ rispetto alla variabile $W$ attorno al punto $W=Z$. Da questo punto di vista $F$ è una funzione reale di una variabile complessa, tuttavia $F$ non è olomorfa, per cui la sua espansione conterrà sia derivate rispetto a $W$ che derivate rispetto a $\overline W$. In particolare:
$$\begin{align*}
F(Z,W) &= F(Z,Z) + \pdv{F}{W_{\alpha}}\bigg\lvert_{W=Z} dZ_{\alpha}+\pdv{F}{\overline{W}_{\alpha}}\bigg\lvert_{W=Z} d\overline{Z}_{\alpha}+\\
&+\frac{1}{2}\pdv{^2 F}{W_{\alpha}W_{\beta}}\bigg\lvert_{W=Z} dZ_{\alpha}dZ_{\beta}+\pdv{^2 F}{W_{\alpha}\overline{W}_{\beta}}\bigg\lvert_{W=Z} dZ_{\alpha}d\overline{Z}_\beta+\frac{1}{2}\pdv{^2 F}{W_{\alpha}W_{\beta}}\bigg\lvert_{W=Z} d\overline{Z}_{\alpha}d\overline{Z}_{\beta}+\cdots
\end{align*}$$
Non essendo olomorfa, $F$ come funzione di $W$ è in pratica una funzione $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ espressa in termini di coordinate complesse. Scrivendo $W = x+iy$ è possibile verificare che l’espansione data è la stessa di quella normale per funzioni a più variabili reali. Possiamo calcolare:
$$\pdv{F}{W_{\alpha}} = \frac{Z \cdot \overline{W}}{Z \cdot \overline{Z} (W \cdot \overline{W})^2}\bqty{\overline{Z}^\alpha (W \cdot \overline{W})-\overline{W}^\alpha (W \cdot \overline{Z})}$$
Non c’è bisogno di calcolare la derivata rispetto a $\overline{W}_\alpha$ perché sarà la complessa coniugata di questa. Quindi otteniamo $\pdv{F}{W_{\alpha}}\big\lvert_{W=Z} = \pdv{F}{\overline{W}_{\alpha}}\big\lvert_{W=Z}=0$. Un calcolo non difficile mostra che l’unica derivata seconda non nulla è quella mista:
$$\pdv{^2 F}{W_{\alpha}\overline{W}_{\beta}}\bigg\lvert_{W=Z}=\frac{\overline{Z}^\alpha Z^\beta -\delta_{\alpha\beta} Z\cdot \overline{Z}}{(Z\cdot \overline{Z})^2}$$
Per cui in totale l’espansione è data da:
$$F(Z,W) = 1 + \frac{\overline{Z} \cdot dZ\, d\overline{Z} \cdot Z}{(Z\cdot \overline{Z})^2}-\frac{dZ\cdot d\overline{Z}}{(Z\cdot \overline{Z})}$$
Tramite WolframAlpha sappiamo che $\arccos{(1-x)} \approx \sqrt{2x}$ e quindi $\arccos{\sqrt{1-x}} \approx \arccos{\pqty{1-\frac{1}{2}x}} \approx \sqrt{x}$. Per cui la metrica Riemmaniana è
$$ds^2 = \frac{dZ\cdot d\overline{Z}}{(Z\cdot \overline{Z})}-\frac{\overline{Z} \cdot dZ\, d\overline{Z} \cdot Z}{(Z\cdot \overline{Z})^2}$$
Possiamo anche esprimerla in termini di coordinate inomogenee: in una qualsiasi delle carte abbiamo
$$ds^2 = \frac{dz\cdot d\overline{z}}{(1+z\cdot \overline{z})}-\frac{\overline{z} \cdot dz\, d\overline{z} \cdot z}{(1+z\cdot \overline{z})^2}$$
Varietà di Kähler
Abbiamo visto che lo spazio proiettivo è una varietà differenziale complessa che ammette una metrica naturale. È un principio generale che un tale oggetto ammette anche una struttura simplettica. Una varietà differenziale con una struttura complessa, una metrica e una struttura simplettica compatibili è detto varietà di Kähler. Consideriamo la forma differenziale complessa
$$\omega = \frac{i}{2}\partial \overline{\partial} \log{(Z\cdot \overline{Z})}$$
Gli operatori $\partial$ e $\overline{\partial}$ sono le derivate esterne rispetto a $Z$ e $\overline{Z}$. Possiamo quindi calcolare
$$\begin{align*}
\omega &= \frac{i}{2}\partial \overline{\partial} \log{(Z\cdot \overline{Z})}=\\
&=\frac{i}{2}\partial \bqty{\pdv{}{\overline{Z}^\beta}\log{(Z\cdot \overline{Z})} d\overline{Z}^\beta}=\\
&=\frac{i}{2}\partial \bqty{\frac{1}{Z\cdot \overline{Z}}Z^\beta d\overline{Z}^\beta}=\\
&=\frac{i}{2}\pdv{}{Z^\gamma}\bqty{\frac{1}{Z\cdot \overline{Z}}Z^\beta}dZ^\gamma \wedge d\overline{Z}^\beta=\\
&= \frac{i}{2}\bqty{\frac{\delta_{\beta\gamma}}{Z\cdot \overline{Z}}-\frac{Z_\beta \overline{Z}_\gamma}{(Z\cdot \overline{Z})^2}} dZ^\gamma \wedge d\overline{Z}^\beta
\end{align*}$$
$\omega$ è la forma simplettica associata alla varietà, ed è detta forma di Kähler. Vediamo subito che la forma è praticamente la stessa della metrica di Fubini-Study: esse sono in pratica la parte simmetrica e antisimmetrica di un’unico tensore, la metrica hermitiana della varietà, che può essere scritto come $g+i\omega$.
Tutte queste idee trovano applicazioni in vari rami della meccanica quantistica.