Nel suo articolo A new proof of the positive energy theorem, E. Witten utilizza una curiosa identità tra matrici gamma, la cui dimostrazione è abbastanza contorta.
Lemma. Identità di Witten per le matrici $\gamma$:
$$\begin{align*}[\gamma^\mu, \gamma^\nu] [\gamma^\alpha, \gamma^\beta] &=4\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\gamma_5 -4(\eta^{\mu\alpha}\eta^{\nu\beta}-\eta^{\mu\beta}\eta^{\nu\alpha})+\\
&+2\pqty{-\eta^{\mu\alpha}[\gamma^\nu, \gamma^\beta]+\eta^{\mu\beta}[\gamma^\nu, \gamma^\alpha]+\eta^{\nu\alpha}[\gamma^\mu, \gamma^\beta]-\eta^{\nu\beta}[\gamma^\mu, \gamma^\alpha]}\end{align*}$$
Dimostrazione. Va notata innanzitutto la convenzione usata da Witten per la quinta matrice, ovvero $\gamma_5 = \gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_3 = -\gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3$. Le matrici gamma soddisfano la solita relazione $\{\gamma_\mu, \gamma_\nu\} = 2 \eta_{\mu\nu}$.
Per dimostrare l’identità espandiamo esplicitamente i due commutatori per ottenere la somma di quattro prodotti di quattro matrici $\gamma$. A questo punto adoperiamo l’identità per il prodotto di tre matrici gamma:
$$\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho = \eta^{\mu\nu}\gamma^\rho + \eta^{\nu\rho}\gamma^\mu -\eta^{\mu\rho}\gamma^\nu -\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\gamma_\sigma \gamma_5$$
L’identità è leggermente diversa da quella wikipediana per la diversa convenzione sulla quinta matrice gamma. Sostituendo diversi termini si cancellano e otteniamo:
\begin{align*}
[\gamma^\mu, \gamma^\nu] [\gamma^\alpha, \gamma^\beta] &= 2 \epsilon^{\sigma \mu \nu \alpha}\gamma_\sigma \gamma^\beta \gamma_5 + 2\epsilon^{\sigma \nu \mu \beta}\gamma_\sigma \gamma^\alpha \gamma_5 +\\
& +2\pqty{-\eta^{\mu\alpha}\gamma^\nu\gamma^\beta+\eta^{\mu\beta}\gamma^\nu \gamma^\alpha+\eta^{\nu\alpha}\gamma^\mu\gamma^\beta-\eta^{\nu\beta}\gamma^\mu\gamma^\alpha}
\end{align*}
dove abbiamo utilizzato tra le altre cose il fatto che la quinta matrice anticommuta con le altre. Adesso separiamo i vari prodotti di due matrici $\gamma$ in commutatore e anticommutatore:
$$2\gamma^\mu\gamma^\nu = 2\eta^{\mu\nu}+[\gamma^\mu, \gamma^\nu]\\
2\gamma_\mu\gamma^\nu = 2\delta_\mu^\nu+[\gamma_\mu, \gamma^\nu]$$
Per cui sostituendo nell’espressione sopra otteniamo, utilizzando l’antisimmetria del tensore di Levi-Civita,
$$[\gamma^\mu, \gamma^\nu] [\gamma^\alpha, \gamma^\beta] = 4\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\gamma_5 -4(\eta^{\mu\alpha}\eta^{\nu\beta}-\eta^{\mu\beta}\eta^{\nu\alpha})+\epsilon^{\sigma \mu \nu \alpha}[\gamma_\sigma, \gamma^\beta] \gamma_5-\epsilon^{\sigma \mu \nu \beta}[\gamma_\sigma, \gamma^\alpha] \gamma_5+\\
+\pqty{-\eta^{\mu\alpha}[\gamma^\nu, \gamma^\beta]+\eta^{\mu\beta}[\gamma^\nu, \gamma^\alpha]+\eta^{\nu\alpha}[\gamma^\mu, \gamma^\beta]-\eta^{\nu\beta}[\gamma^\mu, \gamma^\alpha]}$$
Per ottenere l’identità di Witten resta quindi da dimostrare quanto segue:
$$\epsilon^{\sigma \mu \nu \alpha}[\gamma_\sigma, \gamma^\beta] \gamma_5-\epsilon^{\sigma \mu \nu \beta}[\gamma_\sigma, \gamma^\alpha] \gamma_5=
\pqty{-\eta^{\mu\alpha}[\gamma^\nu, \gamma^\beta]+\eta^{\mu\beta}[\gamma^\nu, \gamma^\alpha]+\eta^{\nu\alpha}[\gamma^\mu, \gamma^\beta]-\eta^{\nu\beta}[\gamma^\mu, \gamma^\alpha]}$$
Ciò va fatto manualmente indice per indice, quindi abbiamo $4^4 = 256$ indici da controllare. Possiamo semplificare il lavoro: è evidente che entrambi i lati sono antisimmetrici rispetto allo scambio $\mu \leftrightarrow \nu$ e $\alpha \leftrightarrow \beta$. Abbiamo quindi $4(4-1)/2=6$ scelte per gli indici $\mu, \nu$ e altrettante per $\alpha, \beta$, per un totale di $6^2 = 36$ scelte. Inoltre se $\mu = \alpha$ e $\nu = \beta$ è evidente che entrambi i membri sono nulli. Per cui restano $30$ combinazioni di indici da controllare. Se invece $\mu, \nu,\alpha, \beta$ sono tutti diversi, allora di nuovo entrambi i membri sono evidentemente nulli. Per cui restano solo $24$ combinazioni da controllare. Per le simmetrie prima discusse basta controllare il caso in cui $\mu = \alpha$ e $\nu \neq \beta, \alpha$. Sostituendo abbiamo:
$$-\epsilon^{\sigma \alpha \nu \beta}[\gamma_\sigma, \gamma^\alpha] \gamma_5=
-\eta^{\alpha\alpha}[\gamma^\nu, \gamma^\beta]+\eta^{\alpha\beta}[\gamma^\nu, \gamma^\alpha]$$
Se $\alpha = \beta$ entrambi i lati sono nulli. Altrimenti $\nu, \alpha, \beta$ sono tutti diversi e l’espressione diventa:
$$\epsilon^{\sigma \alpha \nu \beta}\gamma_\sigma \gamma^\alpha \gamma_5=
\eta^{\alpha\alpha}\gamma^\nu \gamma^\beta$$
dove abbiamo usato il fatto che $\eta^{\alpha\beta} = 0 $ e $[\gamma^\alpha, \gamma^\beta] = 2\gamma^\alpha \gamma^\beta$ per $\alpha \neq\beta$. In questo caso $\sigma$ è il quarto indice che non è nessuno tra $\nu, \alpha, \beta$, quindi $\epsilon^{\sigma \alpha \nu \beta}$ è semplicemente un numero $\pm 1$ e non c’è somma. Moltiplicando per $\gamma^\alpha$ abbiamo $(\gamma^\alpha)^2=\eta^{\alpha\alpha}$, quindi:
$$\gamma_5=-
\epsilon^{\sigma \alpha \nu \beta}\gamma^\sigma \gamma^\alpha\gamma^\nu \gamma^\beta$$
Data qualsiasi combinazione di indici, questa formula restituisce la formula per $\gamma_5$, ed è quindi un’identità. Ciò conclude la dimostrazione dell’identità di Witten. $\square$