L’effetto Josephson consiste nello svilupparsi di una corrente tra due superconduttori separati da una giunzione isolante, detta giunzione Josephson.
Giunzione Josephson: A e B sono superconduttori, C è isolante
In particolare:
- Se non applichiamo tensione tra i due superconduttori, c’è una corrente netta attraverso la giunzione.
- Se applichiamo una tensione a corrente continua tra i due superconduttori, la corrente attraverso la giunzione smette di fluire.
- Se applichiamo una piccola corrente alternata, allora attraverso la giunzione fluisce corrente solo se la frequenza della corrente alternata assume un valore preciso (tanto preciso da essere il metodo ufficiale per determinare $e/\hbar$).
L’effetto è dovuto all’effetto tunnel delle coppie di elettroni in ciascuno dei superconduttori. Se l’isolante è troppo largo, la probabilità di effetto tunnel è bassa e l’effetto non si verifica. Seguiamo la discussione di Feynman (Lectures on Physics).
Poiché le coppie di elettroni in $A$ e $B$ sono nella fase superconduttrice, in ognuna delle due parti separatamente le coppie sono descritte dalla stessa funzione d’onda. Chiamiamo le due funzioni d’onda $\psi_A$ e $\psi_B$. Tiriamo a indovinare l’equazione di Schrodinger per le due parti:
$$i\hbar \pdv{\psi_A}{t} = E_A \psi_A + K \psi_B\\
i\hbar \pdv{\psi_B}{t} = E_B \psi_B + K \psi_A$$
Senza il termine $K$ le due equazioni sono completamente disaccoppiate e sono semplicemente l’equazione di Schrodinger per le due parti separate. Il termine $K$ modifica l’evoluzione temporale delle due parti aggiungendo una certa probabilità che la funzione d’onda della coppia di elettroni passi da $\psi_A$ a $\psi_B$ o viceversa. In linea di principio la costante $K$ potrebbe essere diversa per le due parti; per semplicità supponiamo che i due superconduttori siano uguali (stesso materiale) cosicché $K$ è uguale in entrambe le equazioni.
Se attacchiamo i due superconduttori ad un generatore, in modo tale che tra i due ci sia una differenza di potenziale $V$, allora la differenza tra le due energie dei superconduttori è:
$$E_A-E_B=2eV$$
dove usiamo la carica di due elettroni perché come sappiamo nella fase superconduttrice gli elettroni formano delle coppie. Prendendo lo zero dell’energia a metà, le due equazioni diventano:
$$i\hbar \pdv{\psi_A}{t} = eV \psi_A + K \psi_B\\
i\hbar \pdv{\psi_B}{t} = -eV \psi_B + K \psi_A$$
Separiamo la funzione d’onda nella fase e nella densità di probabilità:
$$\psi_A = \sqrt{\rho_A} e^{i\theta_A}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\psi_B = \sqrt{\rho_B} e^{i\theta_B}$$
Sostituendo otteniamo le seguenti equazioni:
$$\dot \rho_A= \frac{2K}{\hbar} \sqrt{\rho_A\rho_B}\sin{\delta}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dot \rho_B= -\frac{2K}{\hbar} \sqrt{\rho_A\rho_B}\sin{\delta}$$
$$\dot \theta_A=-\frac{eV}{\hbar}-\frac{K}{\hbar} \sqrt{\frac{\rho_B}{\rho_A}}\cos{\delta}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dot \theta_B=\frac{eV}{\hbar}-\frac{K}{\hbar} \sqrt{\frac{\rho_A}{\rho_B}}\cos{\delta}$$
dove $\delta=\theta_B-\theta_A$ è la differenza di fase ai due lati della giunzione. $\rho$ è la densità di (coppie di) elettroni, e poiché questi sono tutti nello stato (nella fase superconduttiva è un po’ come fossero un condensato di Bose-Einstein), $\rho$ è anche la densità di carica. Pertanto $\dot \rho_A$ può essere interpretata come una corrente che scorre da $A$ a $B$; sommando le prime due equazioni otteniamo infatti $\dot \rho_A= -\dot \rho_B$, cioè la corrente da $A$ a $B$ è uguale a meno la corrente da $B$ ad $A$. Pertanto nella giunzione osserveremmo una corrente pari a
$$J = \frac{2K}{\hbar} \sqrt{\rho_A\rho_B}\sin{\delta}$$
Cioè le coppie di elettroni passano da una parte all’altra per effetto tunnel, generando una corrente nella giunzione. A questo punto il generatore con cui abbiamo collegato i superconduttori permette il passaggio di corrente che riequilibra la carica tra $A$ e $B$, e ciò non è catturato nelle nostre equazioni. L’effetto concreto è che la densità di carica nelle due parti sarà uguale: $\rho_A = \rho_B =\rho_0$, e definendo $J_0 = 2K\rho_0/\hbar$, la corrente nella giunzione è:
$$J = J_0 \sin{\delta}$$
Poiché $K$ è una costante che dipende dalla giunzione e dal tipo di superconduttore, e non è nota a priori, possiamo semplicemente dimenticarci che esista e usare soltanto $J_0$. Rimane da ottenere $\delta$. Usando le equazioni per la fase, otteniamo che:
$$\dot \delta = \dot \theta_B -\dot \theta_A = \frac{2eV}{\hbar} \implies \delta(t) = \delta_0+\frac{2e}{\hbar}\int_0^t V(t’)dt’$$
Ora veniamo alla prima delle strane predizioni dell’effetto Josephson. Se la tensione è mantenuta costante , allora
$$J = J_0\sin{(\delta_0+2eV_0 t /\hbar)}$$
Poiché $\hbar$ è minuscolo, il seno oscilla molto rapidamente, e la corrente effettiva è nulla (nel senso che misurando la corrente per un intervallo di tempo anche piccolo, in media sarà zero). Ma se $V_0=0$, allora una corrente c’è (cioè $J_0 \sin{\delta_0}$). Ovvero: senza generatore c’è una corrente nella giunzione, ma appena lo accendiamo, la corrente attraverso la giunzione si annulla!
Possiamo anche provare a mettere una certa corrente alternata, cioè possiamo imporre una tensione del tipo:
$$V(t)=V_0+v\cos{(\omega t)}$$
con $v \ll V_0$. La corrispondente corrente tra le giunzioni vale:
$$J = J_0 \sin{\bqty{\delta_0+\frac{2e}{\hbar} V_0 t +\frac{2e}{\hbar}\frac{v}{\omega} \sin{(\omega t)}}}$$
Poiché $v \ll V_0$, possiamo espandere il seno al prim’ordine attorno ai primi due termini:
$$J \approx J_0 \bqty{
\sin{
\pqty{\delta_0+\frac{2e}{\hbar} V_0 t}
} +
\frac{2e}{\hbar}\frac{v}{\omega} \sin{(\omega t)}
\cos{\pqty{\delta_0+\frac{2e}{\hbar} V_0 t}}
}$$
Il primo termine in media è zero, come prima. Il secondo pure, a meno che le frequenze del seno e del coseno non coincidano, ovvero a meno che:
$$\omega = \frac{2eV_0}{\hbar}$$
In tal caso si sviluppa una piccola corrente continua. Infatti, trasformando il prodotto di seno e coseno in una differenza ed escludendo i termini che oscillano rapidamente, la corrente in questo caso vale:
$$J \approx -J_0 \frac{v}{2V_0}\sin{\delta_0}$$
La misurazione di $\omega$ può essere effettuata ad una precisione molto elevata, e ciò permette di calcolare $e/\hbar$.