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Algebre di Clifford

L’algebra di Clifford è una struttura algebrica abbastanza semplice che racchiude in sé moltissime altre strutture algebriche e le connette le une alle altre. È la struttura naturale per descrivere ogni tipo di rotazioni: non è un caso quindi che sia particolarmente utile ad esempio in robotica e in informatica. Ma anche le trasformazioni di Lorentz sono una rotazione (sebbene in uno spazio a segnatura non Euclidea), e di qui nasce la connessione con la teoria quantistica. In questa serie passiamo in rassegna la costruzione delle algebre di Clifford e la loro connessione con la fisica e la matematica, senza soffermarci troppo sulle dimostrazioni.

  1. Cos’è un’algebra di Clifford
  2. Esempi di algebre di Clifford e rotazioni
  3. Algebra di Clifford su metrica non euclidea
  4. Gruppi nell’algebra di Clifford e spinori
  5. Definizione rigorosa di algebra di Clifford e teorema di universalità
  6. Dimostrazione di alcuni fatti sulle algebre di Clifford
  7. Classificazione delle algebre di Clifford

Massa di una stella a neutroni

Secondo la relatività generale, una stella fredda, cioè ormai spenta, non può eccedere un certo valore critico di massa, altrimenti collasserebbe in un buco nero. In questa serie di articoli riproduciamo i risultati fondamentali della letteratura scientifica riguardo a questa sorprendente predizione. Mescolando calcoli analitici e numerici, anche col computer di casa si riescono a trovare dei risultati interessanti.

  1. Interno di una stella fredda
  2. Limite alla massa di una stella fredda
  3. Simulazione numerica del limite alla massa di una stella a neutroni
  4. Soluzioni analitiche delle equazioni TOV
  5. Massa limite di una stella a neutroni: velocità del suono e della luce

Equazioni del razzo

Un problema standard di meccanica classica è la determinazione del moto di un razzo nello spazio vuoto. La cosa non è banale, perché il razzo perde massa e bisogna quindi considerare le equazioni di Newton con molta attenzione. In questa serie di articoli troviamo l’equazione del razzo in diversi casi interessanti.

  1. Equazione classica del razzo
  2. Equazione relativistica del razzo
  3. Equazione del razzo in un campo gravitazionale costante
  4. Equazione del razzo con più stadi
  5. Razzo relativistico ad antimateria

Simmetrie in meccanica quantistica

La meccanica quantistica ha un rapporto molto difficile con il concetto di simmetria. La questione è matematicamente complicata, e i libri di testo devono per forza tralasciare i dettagli. Se il gruppo di simmetria della meccanica quantistica è quello delle rotazioni, cioè $\mathrm{SO}(3)$, perché improvvisamente quando parliamo di spinori dobbiamo considerare invece $\mathrm{SU}(2)$? La stessa cosa avviene in teoria quantistica dei campi, quando dobbiamo passare dal gruppo di Lorentz a $\mathrm{SL}(2, \mathbb{C})$. Vedremo che c’è un motivo specifico, del tutto quantistico, per cui i gruppi di simmetria devono essere allargati nella teoria quantistica.

  1. Vettori indistinguibili e spazio proiettivo
  2. Simmetrie e teorema di Wigner
  3. Dimostrazione del teorema di Wigner
  4. Gruppi e rappresentazioni proiettive
  5. Estensione del gruppo di simmetria
  6. Rimuovere le rappresentazioni proiettive

Forme differenziali

Le forme differenziali tornano spesso utili in molte aree della fisica, dalla teoria dei campi alla relatività generale. In questa serie di articoli partiamo dalla definizione base di forma differenziale fino ad arrivare al duale di Hodge e alla coomologia di de Rham:

  1. Prodotto esterno e derivata esterna
  2. Proprietà della derivata e del prodotto
  3. Forme differenziali come tensori
  4. Prodotto interno tra p-forme
  5. Duale di Hodge
  6. Formule per il duale di Hodge

E poi anche:

  1. Coomologia di de Rham: a cosa serve
  2. Coomologia di de Rham: alcuni risultati base
  3. Il lemma di Poincaré
  4. Coomologia e topologia
  5. Spazi prodotto e spazi omotopici
  6. Coomologia dello spazio euclideo
  7. La sequenza di Mayer-Vietoris
  8. Coomologia delle sfere
  9. Coomologia del piano bucato