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Di recente in un calcolo di fisica è venuta fuori la seguente identità tra coefficienti binomiali: $$\frac{1}{2^{n}}{2n \choose n} = \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} {n \choose 2k} {2k \choose k} \frac{1}{2^{2k}}$$ Questa formula non sembra lasciarsi dimostrare per induzione. Invece facciamo … Continua a leggere→

La funzione parte intera $\lfloor x \rfloor$ restituisce la parte intera di $x$, ed il suo grafico è dato da In questo articolo proviamo ad esprimere la funzione parte intera $\lfloor x \rfloor$ in termini della funzione scalino $$\theta(x) = … Continua a leggere→

Consideriamo un reticolo ipercubico periodico in $D$ dimensioni, con una lunghezza (numero di siti) $N_i$ nella direzione $i$. Molto spesso torna utile calcolare il numero di vari elementi (archi, placchette) del reticolo. Questa operazione è molto semplice una volta trovato … Continua a leggere→

Un trucco molto semplice per produrre un numero divisibile per $17$ è partire da un numero di quattro cifre e giustapporlo quattro volte a se stesso. Ad esempio partiamo da $1234$, allora $1234123412341234$ è divisibile per $17$, e infatti abbiamo … Continua a leggere→

Abbiamo visto in un precedente articolo la funzione di Möbius. In questo articolo introduciamo una formula molto interessante, detta formula di inversione di Möbius. Sia $f : \N \to \C$. Ponendo $$g(n) = \sum_{d | n} f(d)$$ dove la somma … Continua a leggere→