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Sia $\Omega \subset \R^n$ un sottoinsieme di $\R^n$. Sia $V$ il volume $n$-dimensionale di $\Omega$ e $A$ l’area $(n-1)$-dimensionale del bordo $\partial \Omega$ di $\Omega$. Allora vale la disuguaglianza $$ A^n \geq C_n V^{n-1} \qquad C_n = n^n \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(1+n/2)}$$ Le … Continua a leggere→

La disuguaglianza di Wirtinger è una famiglia di disuguaglianze valida per funzioni di una variabile reale. Consideriamo una funzione derivabile $y: [0,L] \to \R$. Allora sotto certe ipotesi su $y$ che vediamo tra un momento, vale la seguente disuguaglianza, $$\int_0^{L} … Continua a leggere→

Consideriamo una matrice $X(t)$ che dipende da un parametro $t$. In questo articolo calcoliamo la derivata dell’esponenziale di $X(t)$. Abbiamo $$ \dv{}{t} e^{X(t)} = e^{X(t)} \bqty{ \frac{1 -e^{-\mathrm{ad}_{X(t)}}} {\mathrm{ad}_{X(t)}} \pqty{\dv{X(t)}{t}} }$$ dove $\mathrm{ad}_A$ è la mappa tale che $$\mathrm{ad}_A (B) … Continua a leggere→

Nei precedenti articoli della serie abbiamo visto prima due serie perturbative e poi la soluzione analitica della teoria $\phi^4$ in $0$ dimensioni. Le serie perturbative erano solo serie asintotiche: cioè forniscono una buona approssimazione sommando un numero finito di termini, … Continua a leggere→

Nei precedenti articoli della serie abbiamo visto due diverse serie perturbative per la teoria $\phi^4$ in $0$ dimensioni. In particolare le due serie erano solo serie asintotice valide per $g$ molto piccolo o molto grande, ma non convergenti in nessun … Continua a leggere→