Archivi categoria: teoria dei gruppi

Dimostriamo la seguente proposizione che torna talvolta utile in teoria dei gruppi. Proposizione. Se $x, y \in G$ commutano con $[x,y]$, allora $[x^m, y^n]=[x,y]^{mn}$ per ogni $m, n \in \Z$ e $x^n y^n = (xy)^n [x,y]^{{n \choose 2}}$. Dimostrazione. Prima … Continua a leggere→

In questo articolo cercheremo di estrarre quante più informazioni possibili sui gruppi di ordine $pq$ dove $p$ e $q$ sono primi. Supporremo senza perdita di generalità che $p > q$. Abbiamo trattato il caso particolare $p=q$ in un articolo precedente. … Continua a leggere→

Supponiamo che $G$ sia un gruppo di ordine $p^2$ dove $p$ è primo. In questo caso abbiamo solamente due possibilità: o $G$ è il gruppo ciclico $\Z_{p^2}$ oppure $G$ è il prodotto diretto $\Z_{p} \times \Z_{p}$. In particolare un gruppo … Continua a leggere→

Un intrecciatore in teoria dei gruppi (in inglese intertwiner) è una mappa che “intreccia” due diverse rappresentazioni. Ovvero date due rappresentazioni $(V_1,\rho_1)$ e $(V_2, \rho_2)$ allora un intrecciatore $\phi$ tra $V_1$ e $V_2$ è una mappa $\phi: V_1 \to V_2$ … Continua a leggere→

Dati due spazi vettoriali $V$ e $W$ possiamo definire lo spazio $\mathrm{Hom}(V, W)$ delle mappe lineari $V \to W$. In tal caso è noto il risultato che $$V^* \otimes W \cong \mathrm{Hom}(V,W)$$ che andiamo a dimostrare fra poco. Ora se … Continua a leggere→