Archivi categoria: teoria dei gruppi

Una formula per il prodotto di due caratteri di un gruppo finito

Supponiamo che $\chi$ sia il carattere di una rappresentazione irriducibile di un gruppo finito $G$. Allora abbiamo una formula per il prodotto di due elementi, $$\chi(g) \chi(h) = \frac{\chi(1)}{\abs{G}} \sum_{k \in G} \chi (g k h k^{-1})$$ Per dimostrare quest’affermazione, … Continua a leggere

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Alcune proprietà dei caratteri di una rappresentazione

In questo articolo vediamo alcune proprietà dei caratteri di una rappresentazione. Consideriamo il caso in cui il gruppo $G$ è un gruppo finito oppure un gruppo di Lie compatto, e la rappresentazione è sempre finito-dimensionale. In questo caso può essere … Continua a leggere

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Il lemma di Burnside-Cauchy-Frobenius

Nel contesto dei gruppi finiti un risultato che può tornare utile è il lemma di Burnside, che come al solito non è dovuto a Burnside, e perciò è anche detto lemma di Cauchy-Frobenius: Lemma (Burnside-Cauchy-Frobenius). Consideriamo l’azione di un gruppo $G$ su … Continua a leggere

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Ogni gruppo-$p$ è nilpotente

In un precedente articolo abbiamo classificato tutti i gruppi finiti di ordine uguale o inferiore a $8$ e inoltre abbiamo studiato i gruppi di ordine $pq$ e $p^2q$ dove $p$ e $q$ sono primi. In generale, un gruppo-$p$ è un … Continua a leggere

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Quali gruppi finiti ammettono rappresentazioni fedeli irriducibili?

Un concetto centrale nella teoria delle rappresentazioni è il concetto di rappresentazione irriducibile. Queste rappresentazioni formano i “mattoni” con cui è possibile costruire ogni altra rappresentazione. Inoltre, ogni gruppo finito ammette una rappresentazione fedele (per il teorema di Cayley ogni … Continua a leggere

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