Archivi categoria: teoria dei gruppi

In questo articolo consideriamo alcuni risultati che collegano le classi di coniugazione di un gruppo e i generatori di un gruppo. Innanzitutto sappiamo che le classi di coniugazione partizionano il gruppo. Tuttavia per generarlo, è sufficiente prendere un solo rappresentante … Continua a leggere→

In questo articolo dimostriamo un fatto talvolta utile legato al prodotto tensoriale di rappresentazioni: Proposizione. Sia $\rho$ una rappresentazione irriducibile di $G$ e $\sigma$ una rappresentazione monodimensionale di $G$. Allora la rappresentazione $\rho \otimes \sigma$ è anch’essa irriducibile. La dimostrazione … Continua a leggere→

I caratteri irriducibili ${\chi_i}$ di un gruppo finito soddisfano una relazione di ortogonalità, $$\frac{1}{\abs{G}} \sum_{g\in G} \chi_i(g)^* \chi_j(g) = \delta_{ij}$$ In questo articolo vediamo una generalizzazione di questa relazione di ortogonalità, ovvero $$\frac{1}{\abs{G}} \sum_{g\in G} \chi_i(g)^* \chi_j(g h) = \delta_{ij} … Continua a leggere→

Supponiamo che $\chi$ sia il carattere di una rappresentazione irriducibile di un gruppo finito $G$. Allora abbiamo una formula per il prodotto di due elementi, $$\chi(g) \chi(h) = \frac{\chi(1)}{\abs{G}} \sum_{k \in G} \chi (g k h k^{-1})$$ Per dimostrare quest’affermazione, … Continua a leggere→

In questo articolo vediamo alcune proprietà dei caratteri di una rappresentazione. Consideriamo il caso in cui il gruppo $G$ è un gruppo finito oppure un gruppo di Lie compatto, e la rappresentazione è sempre finito-dimensionale. In questo caso può essere … Continua a leggere→