Archivi categoria: teoria dei gruppi

I caratteri irriducibili ${\chi_i}$ di un gruppo finito soddisfano una relazione di ortogonalità, $$\frac{1}{\abs{G}} \sum_{g\in G} \chi_i(g)^* \chi_j(g) = \delta_{ij}$$ In questo articolo vediamo una generalizzazione di questa relazione di ortogonalità, ovvero $$\frac{1}{\abs{G}} \sum_{g\in G} \chi_i(g)^* \chi_j(g h) = \delta_{ij} … Continua a leggere→

Supponiamo che $\chi$ sia il carattere di una rappresentazione irriducibile di un gruppo finito $G$. Allora abbiamo una formula per il prodotto di due elementi, $$\chi(g) \chi(h) = \frac{\chi(1)}{\abs{G}} \sum_{k \in G} \chi (g k h k^{-1})$$ Per dimostrare quest’affermazione, … Continua a leggere→

In questo articolo vediamo alcune proprietà dei caratteri di una rappresentazione. Consideriamo il caso in cui il gruppo $G$ è un gruppo finito oppure un gruppo di Lie compatto, e la rappresentazione è sempre finito-dimensionale. In questo caso può essere … Continua a leggere→

Nel contesto dei gruppi finiti un risultato che può tornare utile è il lemma di Burnside, che come al solito non è dovuto a Burnside, e perciò è anche detto lemma di Cauchy-Frobenius: Lemma (Burnside-Cauchy-Frobenius). Consideriamo l’azione di un gruppo $G$ su … Continua a leggere→

In un precedente articolo abbiamo classificato tutti i gruppi finiti di ordine uguale o inferiore a $8$ e inoltre abbiamo studiato i gruppi di ordine $pq$ e $p^2q$ dove $p$ e $q$ sono primi. In generale, un gruppo-$p$ è un … Continua a leggere→