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Supponiamo che $G$ sia un gruppo finito e $H$ un suo sottogruppo normale. Possiamo allora formare il gruppo quoziente $G/H$. Abbiamo già visto [universalità del quoziente] qual è la relazione tra omomorfismi di $G$ e omomorfismi di $G/H$. Ora ci … Continua a leggere→

Dato un gruppo $G$ e un suo sottogruppo normale $N$, possiamo formare il gruppo quoziente $G/N$. In particolare abbiamo anche una proiezione canonica $\pi: G \to G/N$ data da $g \to g N$ dove $gN \in G/N$ è un coinsieme. … Continua a leggere→

In questo articolo consideriamo alcuni risultati che collegano le classi di coniugazione di un gruppo e i generatori di un gruppo. Innanzitutto sappiamo che le classi di coniugazione partizionano il gruppo. Tuttavia per generarlo, è sufficiente prendere un solo rappresentante … Continua a leggere→

In questo articolo dimostriamo un fatto talvolta utile legato al prodotto tensoriale di rappresentazioni: Proposizione. Sia $\rho$ una rappresentazione irriducibile di $G$ e $\sigma$ una rappresentazione monodimensionale di $G$. Allora la rappresentazione $\rho \otimes \sigma$ è anch’essa irriducibile. La dimostrazione … Continua a leggere→

I caratteri irriducibili ${\chi_i}$ di un gruppo finito soddisfano una relazione di ortogonalità, $$\frac{1}{\abs{G}} \sum_{g\in G} \chi_i(g)^* \chi_j(g) = \delta_{ij}$$ In questo articolo vediamo una generalizzazione di questa relazione di ortogonalità, ovvero $$\frac{1}{\abs{G}} \sum_{g\in G} \chi_i(g)^* \chi_j(g h) = \delta_{ij} … Continua a leggere→