Abbiamo già visto alcune cose sulle matrici casuali, come la distribuzione semicircolare e la distribuzione circolare. In questo articolo vediamo un calcolo più concreto. Consideriamo una matrice simmetrica $2 \times 2$
$$X = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c\end{pmatrix}$$
I suoi autovalori sono dati da
$$\lambda_\pm = \frac{(a+c) \pm \sqrt{(a-c)^2+4b^2}}{2}$$
Ora supponiamo che gli elementi $a,b,c$ siano campionati casualmente secondo una distribuzione che vedremo fra poco. Qual è la distribuzione della differenza $\lambda_+-\lambda_-$?
Scegliamo la distribuzione degli elementi $a,b,c$ con densità di probabilità congiunta pari a
$$p(a,b,c) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}^2 \sqrt{\pi}} e^{-\frac12 (a^2+c^2 + 2b^2)}$$
ovvero $a,b,c$ sono indipendenti e normalmente distribuite con media nulla; la varianza di $a$ e $c$ è pari a uno, mentre la varianza di $b$ è pari a $1/2$. La distribuzione è correttamente normalizzata. Questa scelta può apparire strana, ma in realtà è completamente naturale, perché infatti
$$p(a,b,c) \propto \exp{\pqty{-\frac12 \tr(X^2)}}$$
che è la naturale distribuzione Gaussiana sullo spazio delle matrici. La distribuzione è anche invariante per trasformazioni ortogonali $X \to S X S^T$ dove $S S^T = 1$. Ora possiamo perciò calcolare la distribuzione della differenza degli autovalori,
\begin{align*}
P(\lambda_+-\lambda_- < s) &= P(\sqrt{(a-c)^2+4b^2} < s) = P((a-c)^2+4b^2 < s^2)=\\
&= \int_{-\infty}^{+\infty}da \int_{-\infty}^{+\infty}db \int_{-\infty}^{+\infty}dc \frac{1}{2\pi \sqrt{\pi}} e^{-\frac12 (a^2+c^2 + 2b^2)} \mathbb{I}((a-c)^2+4b^2 < s^2)
\end{align*}
dove $\mathbb{I}$ è la funzione indicatore, uguale a $1$ se la condizione è soddisfatta e zero altrimenti. Vogliamo quindi trovare delle variabili che risolvano completamente la condizione nella funzione indicatore. Prima di tutto poniamo
$$u = \frac{a+c}{2}\quad\quad\quad\quad v = a-c$$
Possiamo controllare che questa trasformazione ha Jacobiano pari ad uno. Sostituendo otteniamo
$$P(\lambda_+-\lambda_- < s) =\int_{-\infty}^{+\infty}du \int_{-\infty}^{+\infty}dv \int_{-\infty}^{+\infty}db \frac{1}{2\pi \sqrt{\pi}} e^{-u^2 -\frac14 v^2 -b^2} \mathbb{I}(v^2+4b^2 < s^2)$$
Ora l’integrale su $u$ è completamente disaccoppiato e possiamo quindi calcolarlo. Inoltre possiamo sostituire $w=2b$ per avere una forma più simmetrica, ottenendo
$$P(\lambda_+-\lambda_- < s) =\int_{-\infty}^{+\infty}dv \int_{-\infty}^{+\infty}dw \frac{1}{4\pi} e^{-\frac14 (v^2 +w^2)} \mathbb{I}(v^2+w^2 < s^2)$$
A questo punto è chiaro che possiamo trasformare in coordinate polari, $v = r\cos\theta$ e $w = r\sin\theta$, ottenendo
$$P(\lambda_+-\lambda_- < s) =\int_0^{+\infty}dr \int_0^{2\pi}d\theta \frac{1}{4\pi} r \, e^{-\frac14 r^2} \mathbb{I}(r^2 < s^2) = \int_0^{s} dr \frac{1}{2} r e^{-\frac14 r^2}$$
Perciò la differenza tra autovalori $\lambda_+-\lambda_-$ ha una distribuzione molto semplice, con densità di probabilità $p(r) = \frac{1}{2} r e^{-\frac14 r^2}$. Si può inoltre dimostrare che questo risultato è anche un’ottima approssimazione per il caso $N \times N$.
A cosa serve? La cosiddetta “dottrina di Wigner” afferma che un sistema con un grandissimo numero di gradi di libertà può essere ben approssimato da una matrice casuale con le stesse simmetrie. Ad esempio gli stati energetici elevati di ioni con un gran numero di atomi sono in linea di principio dati dalla soluzione di un’equazione di Schroedinger complicatissima; ma avendo appunto moltissimi gradi di libertà, i divari energetici sono tutti ben approssimati da una matrice casuale, e infatti (in unità appropriate) seguono tutti la distribuzione $\sim r e^{-\frac14 r^2}$ indipendentemente dal tipo esatto di ione di cui stiamo parlando.
Ciò vale per sistemi anche molto diversi. Ad esempio i divari tra gli zeri della funzione $\zeta$ di Riemann seguono molto bene la distribuzione $\sim r^2 e^{-r^2}$, che il risultato corrispondente al nostro per matrici complesse hermitiane.
La distribuzione degli zeri è anche utilizzata in pratica come definizione di caos in un sistema quantistico. In un sistema classico, un sistema è caotico se traiettorie inizialmente vicine divergono esponenzialmente. Ad esempio, giocando idealmente a biliardo su un rettangolo perfetto traiettorie vicine rimarranno tali e quindi non c’è caos; se invece smussiamo i bordi del rettangolo, ora traiettorie vicine divergeranno sempre più nel tempo e il sistema è caotico. Ora immaginiamo di quantizzare il sistema, provando a risolvere l’equazione di Schrodinger nel rettangolo perfetto e nel rettangolo smussato ponendo la funzione d’onda $\psi=0$ al bordo. Troveremo che per gli autovalori sufficientemente grandi, i divari energetici sono distribuiti come $e^{-x}$ per il rettangolo perfetto, mentre invece sono distribuiti come $x e^{-x}$, cioè come una matrice casuale, per il sistema caotico del rettangolo smussato. La cosiddetta congettura BGS afferma che la versione quantistica di un sistema classicamente caotico avrà lo spettro di matrice casuale; mentre invece la congettura di Berry afferma che la versione quantistica di un sistema classicamente integrabile avrà distribuzione esponenziale.