Abbiamo visto in un precedente articolo la distinzione tra operatore simmetrico e autoaggiunto. Un operatore $A$ è simmetrico se $(x,Ay)=(Ax,y)$ per ogni $x,y$ nel dominio di $A$; perché l’operatore $A$ sia autoaggiunto, il dominio $D(A)$ deve coincidere con il dominio $D(A^*)$ del suo aggiunto.
Per definizione l’aggiunto $A^*$ è definito dalla formula $(x,Ay)=(A^* x,y)$. Poiché per definizione $A$ è simmetrico, e quindi $(x,Ay)=(Ax,y)$, possiamo definire $A^*$ su tutto il dominio $D(A)$ semplicemente ponendolo uguale ad $A$, ovvero definendo $A^* x \equiv A x$. Perciò necessariamente se $A$ è simmetrico, allora $D(A) \subset D(A^*)$. Tuttavia in generale $D(A) \neq D(A^*)$ e i due domini sono identici solo se l’operatore è autoaggiunto. Infatti è del tutto possibile che esista una mappa $x \to A^* x$ tale che $(x,Ay)=(A^* x,y)$ per ogni $y$, anche se $x$ non è nel dominio di $A$.
È interessante che esista una caratterizzazione esplicita della differenza tra i due domini:
Teorema. Sia $A$ un operatore simmetrico e $A^*$ il suo aggiunto. Allora $D(A^*) = D(A) \oplus D_+ \oplus D_-$ dove $D_{\pm} = \mathrm{ker}(A^*\mp i)$, ovvero gli autospazi corrispondenti agli autovalori $\pm i$ per $A^*$.
È chiaro che se $A$ è autoaggiunto, allora non può avere autovalori immaginari e quindi $D_+=D_-=0$, e perciò $D(A^*)=D(A)$ come ci aspettiamo. Inoltre da questa caratterizzazione è evidente che $D(A) \subset D(A^*)$ come avevamo mostrato sopra. Le dimensioni dei due sottospazi sono dette indici di carenza. Se $A$ è simmetrico ma non autoaggiunto, è talvolta possibile estenderlo ad un operatore autoaggiunto.
Definizione. (Estensione) Sia $A$ un operatore definito in $D(A)$ e $B$ un operatore definito in $D(B)$. Diciamo che $B$ è un’estensione di $A$ se $D(A) \subset D(B)$ e $Bx = Ax$ per ogni $x \in D(A)$.
Ovvero $B$ estende $A$ se è definito su un dominio più grande e coincide con $A$ nel suo dominio. Diciamo che $B$ è un’estensione autoaggiunta di $A$ se $B$ è autoaggiunto ed estende $A$. Abbiamo quindi la seguente caratterizzazione:
Teorema. Sia $A$ un operatore simmetrico e $A^*$ il suo aggiunto, con indici di carenza $n_+ = \mathrm{dim}(D_+)$ e $n_- = \mathrm{dim}(D_-)$ come definiti sopra. Allora
- Se $n_+ = n_-=0$ allora $A$ è autoaggiunto;
- Se $n_+ = n_-\neq 0$ allora $A$ non è autoaggiunto ma ammette estensioni autoaggiunte;
- Se $n_+ \neq n_-$ allora $A$ non è autoaggiunto né ammette estensioni autoaggiunte.
In questo senso gli indici di carenza misurano quanto “manchi” ad $A$ per essere autoaggiunto. Diamo uno schizzo di dimostrazione del teorema, perché è anche utile in pratica per trovare le estensioni autoaggiunte di $A$.
Se estendiamo $A$, ovvero se allarghiamo il suo dominio $D(A)$ allora stiamo dicendo che la condizione $(x,Ay)=(A^* x,y)$ che definisce $A^*$ deve valere per più vettori $y$. Ciò rende la condizione più stringente, e quindi allargare il dominio di $A$ corrisponde a restringere il dominio di $A^*$. Perciò se vogliamo rendere $A$ autoaggiunto, ovvero vogliamo $D(A)=D(A^*)$, dobbiamo trovare una via di mezzo tra $D(A)$ e $D(A^*) = D(A) \oplus D_+ \oplus D_-$. Ovvero l’estensione autoaggiunta $\widetilde{A}$ di $A$ sarà autoaggiunta su un dominio $D(\widetilde{A}) = D(A) \oplus D_e$ dove $D_e \subset D_+ \oplus D_-$.
Poiché $\widetilde{A}$ è autoaggiunto non può avere autovalori immaginari e quindi necessariamente $D_e \cap D_+ = D_e \cap D_- = 0$. Ne segue che gli elementi di $D_e$ saranno della forma $x = x_+ + x_- \in D_e$ dove $x_\pm \in D_\pm$ e $x_\pm \neq 0$ a meno che $x=0$. Dato un $x_+ \in D_+$ esisterà un unico $x_- \in D_-$. Se così non fosse, ovvero se $x_+ + x_- \in D_e$ e $x_+ + y_- \in D_e$ allora $(x_+ + x_-) -(x_+ + y_-) = x_- -y_-$ sarebbe sia in $D_e$ che in $D_-$ ma ciò è una contraddizione perché $D_e \cap D_- = 0$. Perciò esiste una funzione $S: D_+ \to D_-$ tale che tutti gli elementi di $D_e$ siano della forma $x_+ + Sx_+$ per $x_+ \in D_+$. Vogliamo dimostrare che $S$ è una mappa lineare, biettiva e unitaria.
Per la linearità supponiamo di avere due elementi $x = x_+ + Sx_+ \in D_e$ e $y = y_+ + Sy_+ \in D_e$. Allora anche $\alpha x+\beta y = (\alpha x_++\beta y_+)+\alpha Sx_+ +\beta Sy_+ \in D_e$. Ma anche $(\alpha x_++\beta y_+) + S (\alpha x_++\beta y_+) \in D_e$. Ma abbiamo visto che $S$ è una funzione, ovvero se $x_+ + x_- \in D_e$ e $x_+ + y_- \in D_e$, allora $x_-=y_-$, perciò $S (\alpha x_++\beta y_+)=\alpha Sx_+ +\beta Sy_+$ e quindi $S$ è lineare. Per l’iniettività supponiamo che $Sx_+ = S y_+$. Allora abbiamo due elementi $x=x_++Sx_+ \in D_e$ e $y=y_+ +S y_+ \in D_e$ e la loro differenza sarà $x-y=x_+-y_+ \in D_+$. Ma poiché $D_+ \cap D_e=0$ dobbiamo perciò avere $x_+=y_+$ e quindi $S$ è iniettiva. Dovremmo poi dimostrare che $S$ è suriettiva, ma omettiamo questa parte. Ora se $\widetilde{A}$ è autoaggiunto, allora $\widetilde{A}^*$ dev’essere simmetrico in $D_e$. Abbiamo:
$$\pqty{\widetilde{A}^*(x+Sx), y + Sy} = \pqty{i x -i Sx, y + Sy} = -i (x,y) +i (Sx,y)-i (x,Sy) +i (Sx,Sy)\\
\pqty{x+Sx,\widetilde{A}^*(y + Sy)} = \pqty{x + Sx, i y -i Sy} = i (x,y) +i (Sx,y)-i (x,Sy) -i(Sx,Sy)$$
Perché $\widetilde{A}^*$ sia simmetrico dobbiamo perciò avere
$$\implies \pqty{\widetilde{A}^*(x+Sx), y + Sy} -\pqty{x+Sx,\widetilde{A}^*(y + Sy)} =2i \bqty{(Sx,Sy) -(x,y)}=0$$
Ovvero $S$ deve soddisfare $(Sx,Sy)=(x,y)$ per ogni $x,y$ in $D_+$. Perciò se $A$ ammette un’estensione autoaggiunta, esisterà una mappa unitaria $S: D_+ \to D_-$, quindi lineare e biettiva, perciò i due spazi dovranno avere la stessa dimensione.
Questa dimostrazione dà anche una procedura concreta per trovare le estensioni autoaggiunte di un operatore simmetrico: si trovano gli spazi $D_+$ e $D_-$ e si classificano le mappe unitarie $S: D_+ \to D_-$ e di lì si può quindi trovare $D_e$. Nel prossimo articolo diamo un’attuazione concreta del teorema nel caso dell’operatore impulso in meccanica quantistica.