Abbiamo visto la differenza tra operatori simmetrici e autoaggiunti, e il fatto che nella buca di potenziale infinita l’impulso non è autoaggiunto e quindi non è osservabile. Abbiamo anche visto il concetto di estensione autoaggiunta per un operatore simmetrico e il fatto che le varie estensioni sono caratterizzate dagli indici di carenza.
Supponiamo di avere l’operatore $p=-i \dv{}{x}$ nell’intervallo $[0,1]$ con condizioni al contorno $\psi(0)=\psi(1)=0$. Allora possiamo calcolare
\begin{align*}
(\chi, p\psi) &= -i\int_{0}^{1} \chi(x)^* \partial_x \psi(x)=\\
&=-i\bqty{\chi(x)^* \psi(x)}\bigg\lvert_{0}^{1} -\frac{\hbar}{i} \int_{0}^{1} \partial_x \chi(x)^* \psi(x)=\\
&=-i\bqty{\chi(x)^* \psi(x)}\bigg\lvert_{0}^{1} +(p\chi,\psi)
\end{align*}
Perciò perché $p$ sia simmetrico deve valere la condizione
$$\chi(1)^* \psi(1) -\chi(0)^* \psi(0) = 0$$
Con la nostra scelta di condizioni al contorno per $p$ la condizione è soddisfatta automaticamente per ogni condizione al contorno su $p^\dagger$. Ovvero abbiamo
$$D(p) = \{ \psi \in L^2([0,1]), \,\,\,\psi\,\,\mathrm{derivabile}\,\,\, \mathrm{e}\,\,\,\psi(0)=\psi(1)\}$$
Al contrario, $p^\dagger$ è formalmente dato dalla stessa formula di $p$, ovvero $p^\dagger=-i \dv{}{x}$, ma è definito da $(p^\dagger \chi, \psi)=(\chi, p \psi)$ e quindi mentre $p$ agisce solo $\psi$, al contrario $p^\dagger$ agisce solo su $\chi$. Ma come abbiamo visto sopra le condizioni al contorno su $\psi$ sono sufficienti per la simmetria di $p$ e quindi non abbiamo condizioni al contorno su $\chi$. Perciò
$$D(p^\dagger) = \{ \chi \in L^2([0,1]), \,\,\,\chi\,\,\mathrm{derivabile} \}$$
Perciò è chiaro da questo esempio che $D(p) \subset D(p^\dagger)$. Ora consideriamo gli indici di carenza, ovvero, a tal fine, l’equazione agli autovalori $\pm i$ di $p^\dagger$. Abbiamo
$$p^\dagger \chi = \pm i\chi \quad \quad \implies \quad \quad \chi_{\pm}(x) = C e^{\mp x}$$
Notiamo innanzitutto che $\chi_{\pm}$ non sarebbero soluzioni accettabili come autovalori di $p$, perché non hanno le giuste condizioni al contorno. Né sarebbero accettabili sull’intera retta reale, perché in quel caso non sarebbero quadrato-integrabili. Perciò $D_\pm = \mathrm{span}\{ e^{\mp x}\}$. Come ci aspettiamo dalla teoria generale, abbiamo $D(p^\dagger) = D(p) \oplus D_+ \oplus D_-$. Infatti la differenza tra i due domini sono solo nelle condizioni al contorno, e i due gradi di libertà contenuti in $D_\pm$ ci permettono di scegliere liberamente le due condizioni al contorno in $0$ e $1$.
Poiché tanto $\mathrm{dim}D_+ = \mathrm{dim} D_- = 1$ e quindi i due indici di carenza sono identici, $p$, sebbene non sia autoaggiunto, ammette estensioni autoaggiunte. Queste sono classificate dagli operatori unitari $S: D_+ \to D_-$. Poiché entrambi gli spazi sono monodimensionali, $S$ sarà semplicemente la moltiplicazione per una costante, ovvero $S: e^{-x} \to s e^{x}$ per un qualche $s\in \C$. Poiché $S$ è unitaria, dobbiamo avere
$$\abs{s}^2 \int_0^1 e^{2x} dx = \pqty{S e^{-x}, S e^{-x}} = \pqty{e^{-x},e^{-x}} = \int_0^1 e^{-2x} dx$$
Perciò svolgendo gli integrali dobbiamo avere $\abs{s} = 1/e$ e quindi $s= e^{i\alpha-1}$. Perciò per ogni valore di $\alpha$ fisso, avremo una diversa mappa $S$ e quindi una diversa estensione autoaggiunta di $p$. Questa sarà definita nel dominio $D(p) \oplus D_e$ dove $D_e= \{ f(x) + Sf(x),\,\,\,f(x) \in D_+\}$. Perciò $D_e$ è lo spazio spannato da vettori della forma $A (e^{-x} + e^{i\alpha -1} e^{x})$. Ciò significa che un vettore $\phi \in D(p) \oplus D_e$ avrà la forma
$$\phi(x) = \psi(x) + A (e^{-x} + e^{i\alpha-1} e^{x})$$
mentre $\psi(x) \in D(p)$, per cui soddisfa $\psi(0)=\psi(1)=0$. Al contrario le condizioni al contorno di $\phi(x)$ sono date da
$$\phi(0)=A (1+e^{i\alpha-1}) \quad \quad \phi(1) = A ( e^{-1} + e^{i\alpha}) $$
Perciò poiché $A$ è arbitrario, ciò non fissa $\phi(0)$ e $\phi(1)$ ma solo il loro rapporto, ovvero dobbiamo avere
$$\frac{\phi(0)}{\phi(1)} = \frac{1+e^{i\alpha-1}}{e^{-1} + e^{i\alpha}}$$
È facile vedere che il membro destro dell’equazione è una fase, che possiamo chiamare $e^{i\beta}$ e poiché $\alpha$ è fisso ma arbitrario, allora anche $\beta$ è fisso ma arbitrario. Perciò le funzioni $\phi$ nel dominio dell’estensione autoaggiunta dell’operatore $p$ con parametro $\beta$ soddisfano:
$$\phi(0)=e^{i\beta}\phi(1)$$
Nel caso $\beta=0$ otteniamo le solite condizioni al contorno periodiche, ma in generale possiamo avere $\beta$ generico. Perciò abbiamo infinite estensioni autoaggiunte di $p$, ognuna delle quali corrisponde ad un diverso valore di $e^{i\beta}$.