In un precedente articolo abbiamo visto la legge semicircolare di Wigner per le matrici casuali simmetriche. Un risultato apparentemente simile, ma in realtà abbastanza diverso, è la cosiddetta legge circolare.
Questa volta consideriamo una matrice $N \times N$ qualsiasi $X_N$, dove gli elementi siano estratti tutti in maniera casuale da distribuzioni indipendenti ma identicamente distribuite con media $0$ e varianza finita $\sigma^2$. Allora nel limite $N \to \infty$ gli autovalori della matrice $\frac{1}{\sqrt{N}}X_N$ saranno uniformemente distribuiti nel cerchio di raggio $\sigma$ centrato in $0$ nel piano complesso, come illustrato nella figura seguente:
Parte reale e immaginaria degli autovalori di una matrice $1000 \times 1000$ appropriatamente scalata, i cui elementi sono estratti da una variabile normale con media $0$ e varianza $1$. Presa da Wikimedia.
In particolare poiché non abbiamo nessuna condizione ulteriore sugli elementi di $X_N$, i suoi autovalori saranno in generale complessi. Nel limite in cui $N\to \infty$ saranno distribuiti uniformemente in un cerchio.
Questo risultato è parecchio sorprendente. In primo luogo perché non sembra per nulla ovvio che gli autovalori di una matrice per quanto grande debbano essere distribuiti in una maniera qualsiasi, benché meno in una forma gradevole come il cerchio. In secondo luogo perché il risultato vale con condizioni molto generali sulla distribuzione da cui estraiamo gli elementi della matrice.
Possiamo confrontare questo risultato con quello della legge semicircolare di Wigner che avevamo visto nell’articolo precedente. In quel caso gli autovalori erano tutti reali e distribuiti secondo un semicerchio. Possiamo immaginarci che la densità degli autovalori in quel caso sia data dalla proiezione della distribuzione uniforme sul cerchio di questo caso sulla retta reale.