Com’è noto, mentre il problema dei due corpi ha una soluzione analitica relativamente semplice, il problema dei tre corpi è nella sua forma generale del tutto intrattabile. Come avevamo visto, è possibile trattarlo numericamente solo dopo semplificazioni. Ciò pone un problema pratico notevole a chi deve progettare traiettorie astronomiche per oggetti che viaggiano nel sistema solare, come ad esempio i rover marziani o le sonde da mandare in pianeti lontani.
Infatti, supponiamo di voler mandare un’astronave su Plutone. In linea di principio dovremo allora considerare l’attrazione gravitazionale del Sole, della Terra, di tutti gli altri pianeti come Giove, Saturno, ecc. ma anche in linea di principio delle lune e degli asteroidi che si trovano in mezzo. Questo problema è tuttavia intrattabile anche numericamente. La soluzione è considerare in regioni diverse solo il campo gravitazionale di un oggetto per volta. Lungo il tragitto verso Plutone effettuiamo una fionda gravitazionale con Giove, come avevamo descritto in un altro articolo. Quando l’astronave sta partendo dalla Terra consideriamo solo il campo gravitazionale della Terra; poi una volta che si troverà ad una certa distanza dalla Terra, l’astronave sarà solo sotto l’influenza del Sole; avvicinandosi a Giove, sarà solo sotto l’influenza di Giove; una volta allontanatasi a sufficienza, sarà di nuovo sotto l’influenza del Sole fino a che non arriverà a Plutone.
Per rendere questa nozione precisa dobbiamo determinare quale oggetto dominerà il comportamento dell’astronave. Non ha senso determinare semplicemente chi esercita la forza più grande: ad esempio il Sole esercita una forza sulla Luna pari a circa il doppio di quella esercitata dalla Terra, eppure per il comportamento della Luna rispetto alla Terra la forza del Sole può essere trascurata. La risposta è quindi un po’ più complessa.
Consideriamo quindi tre corpi, l’Astronave, il Pianeta e il Sole. Le equazioni del problema dei tre corpi sono date da:
$$\begin{cases}
\ddot{\mathbf{r}}_A = -\frac{GM_P}{|\mathbf r_A-\mathbf r_P|^3}(\mathbf r_A-\mathbf r_P)-\frac{GM_S}{|\mathbf r_A-\mathbf r_S|^3}(\mathbf r_A-\mathbf r_S)\\
\ddot{\mathbf{r}}_P = -\frac{GM_A}{|\mathbf r_P-\mathbf r_A|^3}(\mathbf r_P-\mathbf r_A)-\frac{GM_S}{|\mathbf r_P-\mathbf r_S|^3}(\mathbf r_P-\mathbf r_S)\\
\ddot{\mathbf{r}}_S = -\frac{GM_A}{|\mathbf r_S-\mathbf r_A|^3}(\mathbf r_S-\mathbf r_A)-\frac{GM_P}{|\mathbf r_S-\mathbf r_P|^3}(\mathbf r_S-\mathbf r_P)\\
\end{cases}
$$
Ora supponiamo di metterci dal punto di vista del pianeta. La posizione dell’astronave rispetto al pianeta è $\mathbf{r}_{AP} = \mathbf{r}_{A}-\mathbf{r}_{P}$, ed è quindi governata dall’equazione
$$\ddot{\mathbf{r}}_{AP} = -\frac{G(M_A+M_P)}{|\mathbf{r}_{AP}|^3}\mathbf{r}_{AP} -\frac{GM_S}{|\mathbf r_A-\mathbf r_S|^3}(\mathbf r_A-\mathbf r_S)+\frac{GM_S}{|\mathbf r_P-\mathbf r_S|^3}(\mathbf r_P-\mathbf r_S)$$
Nell’approssimazione in cui il pianeta è la forza dominante, il primo termine è la forza centrale $\mathbf{F}_P$ che determina il moto dell’astronave rispetto al pianeta, mentre gli altri due termini sono una perturbazione che chiamiamo quindi $\mathbf{\Delta F}_P$.
Al contrario, dal punto di vista del Sole abbiamo $\mathbf{r}_{AS} = \mathbf{r}_{A}-\mathbf{r}_{S}$ e quindi
$$\ddot{\mathbf{r}}_{AS} = -\frac{G(M_A+M_S)}{|\mathbf{r}_{AS}|^3}\mathbf{r}_{AS} -\frac{GM_P}{|\mathbf r_A-\mathbf r_P|^3}(\mathbf r_A-\mathbf r_P)+\frac{GM_P}{|\mathbf r_S-\mathbf r_P|^3}(\mathbf r_S-\mathbf r_P)$$
e il primo termine è quindi la forza centrale $\mathbf{F}_S$, mentre gli altri due termini sono la perturbazione che chiamiamo quindi $\mathbf{\Delta F}_S$.
L’errore relativo che commettiamo nell’ignorare la perturbazione è quindi in entrambi i casi $\lvert\mathbf{\Delta F}\lvert/\abs{\mathbf{F}}$. Perciò definiamo la sfera di influenza del pianeta come la regione dove l’errore relativo che commettiamo considerando il pianeta come centrale e il Sole come perturbazione è minore rispetto all’errore facendo le cose al contrario:
$$\frac{\lvert\mathbf{\Delta F}_P\lvert}{\abs{\mathbf{F}_P}} < \frac{\lvert\mathbf{\Delta F}_S\lvert}{\abs{\mathbf{F}_S}}$$
dove appunto
\begin{align*}
\mathbf{F}_P &= -\frac{G(M_A+M_P)}{|\mathbf{r}_{AP}|^3}\mathbf{r}_{AP} \quad &\mathbf{\Delta F}_P = -\frac{GM_S}{|\mathbf r_A-\mathbf r_S|^3}(\mathbf r_A-\mathbf r_S)+\frac{GM_S}{|\mathbf r_P-\mathbf r_S|^3}(\mathbf r_P-\mathbf r_S)\\
\mathbf{F}_S &= -\frac{G(M_A+M_S)}{|\mathbf{r}_{AS}|^3}\mathbf{r}_{AS} \quad &\mathbf{\Delta F}_S = -\frac{GM_P}{|\mathbf r_A-\mathbf r_P|^3}(\mathbf r_A-\mathbf r_P)+\frac{GM_P}{|\mathbf r_S-\mathbf r_P|^3}(\mathbf r_S-\mathbf r_P)
\end{align*}
Per determinare approssimativamente la sfera d’influenza possiamo effettuare alcune semplificazioni rilevanti nel caso di un’astronave nel sistema solare. In particolare la massa dell’astronave sarà trascurabile rispetto al Sole e alla Terra, perciò possiamo porre $M_A=0$, e abbiamo inoltre $\mathbf{r}_A\approx \mathbf{r}_P$. Chiamiamo $d$ la distanza tra l’astronave e il pianeta e $R$ la distanza tra il pianeta / l’astronave e il Sole. Con questa approssimazione il secondo termine in $\lvert\mathbf{\Delta F}_S\lvert$ è trascurabile. Inoltre poiché $\mathbf{r}_A -\mathbf{r}_P$ è piccolo, possiamo approssimare
$$\lvert\mathbf{\Delta F}_P\lvert \approx \abs{\nabla f}(\mathbf{r}_P) d_P = \frac{2 G M_S}{R^3}d$$
dove $f(\mathbf{r})=-GM_S \mathbf{r} / \abs{\mathbf{r}}^3$. Perciò abbiamo
\begin{align*}
\lvert\mathbf{F}_P\lvert &\approx \frac{G M_P}{d^2} \quad &\lvert\mathbf{\Delta F}_P\lvert \approx \frac{2GM_S d}{R^3}\\
\lvert\mathbf{F}_S\lvert &\approx \frac{GM_S}{R^2} \quad &\lvert\mathbf{\Delta F}_S\lvert \approx \frac{GM_P}{d^2}
\end{align*}
Per cui la sfera di influenza è definita da
$$\frac{d}{R} < \frac{1}{2^{1/5}} \pqty{\frac{M_P}{M_S}}^{2/5}$$
In questa approssimazione la sfera d’influenza è effettivamente una sfera. Un’approssimazione più precisa individuerebbe un ellissoide invece di una sfera.
La sfera d’influenza della Terra rispetto al Sole, ad esempio, è pari a $d \approx 800000 \,\mathrm{km}$ e include ad esempio l’intera orbita della Luna come ci aspetteremmo. La sfera d’influenza di Giove rispetto al Sole è invece pari a circa $d \approx 42 \, \mathrm{milioni}\,\mathrm{km}$. La sfera d’influenza della Luna rispetto alla Terra è di $d \approx 58000 \,\mathrm{km}$.