La versione più nota della supersimmetria è quella in teoria quantistica dei campi, tuttavia nulla ci impedisce di costruire una teoria supersimmetrica in meccanica quantistica. Come nel caso relativistico, introduciamo $N$ generatori di simmetria fermionici hermitiani $Q_i$, ovvero delle matrici che soddisfano tra di loro relazioni di anticommutazione invece che di commutazione. La relazione più importante è
$$\{Q_i, Q_j\}=\delta_{ij} H\tag{1}$$
dove $H$ è l’hamiltoniana del sistema e $\{\cdot,\cdot\}$ è l’anticommutatore, dato che gli $Q_i$ sono generatori fermionici. Non è difficile dimostrare che con questa definizione ognuno degli $Q_i$ è una simmetria del sistema, cioè $[Q_i, H] = 0$.
Da dove viene questa definizione?
Il punto fondamentale è che la meccanica quantistica può essere vista come un caso particolare della teoria quantistica dei campi, ovvero la meccanica quantistica è una teoria quantistica dei campi $0+1$ dimensioni. Il motivo è che in teoria dei campi gli operatori (cioè i campi) dipendono da quattro parametri, $(t, \vec{x})$, cioè per ogni punto dello spaziotempo abbiamo un operatore diverso. In altre parole, sia lo spazio che il tempo sono parametri e non variabili dinamiche. Al contrario, in meccanica quantistica gli operatori dipendono solo dal tempo $t$ e non dallo spazio $\vec{x}$. Questo perché in meccanica quantistica lo spazio è un operatore e non un parametro.
Pertanto possiamo considerare le relazioni di commutazione relativistiche e vedere cosa succede se le trasliamo nel caso non relativistico. Nel caso relativistico con $N$ generatori i commutatori soddisfano $\{Q_{\alpha}^A, \bar{Q}_{\dot{\alpha}B}\} = 2\pqty{\sigma^\mu}_{\alpha\dot\alpha} P_\mu \delta^A_B$ dove i $Q_{\alpha}$ sono spinori di Weyl con due componenti ognuno. Prima di tutto nel caso $0+1$ dimensionale abbiamo solo il componente $\mu=0$, e inoltre in generale $\sigma^0 = \mathbb{1}$ e $P_0 = H$, l’Hamiltoniana. Inoltre, come abbiamo visto negli articoli sulle algebre di Clifford, in $d$ dimensioni spaziotemporali gli spinori di Dirac hanno dimensione $2^{\left \lfloor{d}\right \rfloor /2}$, cioè $4$ in $3+1$ dimensioni e $1$ in $0+1$ dimensioni. Per cui in $0+1$ dimensioni non abbiamo propriamente spinori di Weyl, e gli spinori hanno un solo componente. Segue che $\alpha = 0$ e $\dot \alpha = \dot 0$, e poiché $\pqty{\sigma^0}_{0\dot 0}=1$ otteniamo la relazione di commutazione $\{Q^A, Q_B\} = 2 H \delta^A_B$, che è quella che abbiamo dato sopra a meno di un fattore $2$ arbitrario.
La meccanica quantistica supersimmetrica con $N=2$
Il caso più utile è la meccanica quantistica supersimmetrica con $N=2$. Il motivo è che $N=1$ non è abbastanza restrittivo per essere interessante, mentre $N>2$ è troppo restrittiva e non descrive hamiltoniane interessanti. In questo caso abbiamo due generatori di supersimmetria hermitiani $Q_1$ e $Q_2$, e per semplicità li raggruppiamo:
$$Q = \frac{Q_1+i Q_2}{\sqrt 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Q^\dagger = \frac{Q_1-i Q_2}{\sqrt 2}$$
Le relazioni di (anti)commutazione seguono dalla $(1)$ e diventano quindi
$$\{Q, Q\} = \{Q^\dagger, Q^\dagger\}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\{Q,Q^\dagger\} = H$$
A questo punto possiamo scegliere una realizzazione concreta di quest’algebra, cioè supponiamo che l’Hamiltoniana descriva un sistema di spin $1/2$ e pertanto in una base appropriata possa essere scritta come
$$H = \begin{pmatrix} H_1 & 0 \\ 0 & H_2\end{pmatrix}$$
Finora la supersimmetria non c’entra assolutamente nulla. Ora scegliamo un generatore di supersimmetria $Q$ che deve soddisfare $\{Q,Q\}=0$, ovvero $Q^2=0$. Una maniera semplice di scegliere $Q$ è la seguente:
$$Q = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ A & 0\end{pmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Q^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & A^\dagger \\ 0 & 0\end{pmatrix}$$
dove $A$ è un operatore a caso. Se supponiamo che $H$ sia supersimmetrico, allora dobbiamo avere anche $\{Q,Q^\dagger\}=H$, e ciò pone delle fortissime restrizioni su $H_1$ e $H_2$. Abbiamo infatti
$$H = \begin{pmatrix} A^\dagger A & 0 \\ 0 & A A^\dagger \end{pmatrix}$$
In particolare lo spettro di $H_1=A^\dagger A$ e $H_2 = A A^\dagger$ è (quasi) lo stesso. Infatti supponiamo che $\psi$ sia un autostato di $H_1$ e operiamo con $A$ da sinistra:
$$A^\dagger A \psi =E \psi \,\,\,\,\,\,\,\rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\, \pqty{A A^\dagger} A \psi =E\, A\psi$$
ovvero $A\psi$ è un autostato di $H_2=A A^\dagger$ con la stessa energia $E$. Alla stessa maniera otteniamo che se $\psi$ è un autostato di $H_2$, allora $A^\dagger \psi$ è un autostato di $H_1$ con la stessa energia. Ricordiamo però che gli autostati devono essere non-nulli. Per definizione $\psi \neq 0$, ma potremmo anche avere $A \psi = 0$. Non c’è maniera di escluedere questa possibilità, ma poiché $\psi$ è un autovalore di $A^\dagger A$ dall’equazione degli autovalori avremmo $E\psi=0$, cioè $E=0$. Perciò $H_1$ e $H_2$ hanno lo stesso spettro non-nullo, ma potrebbero avere un diverso numero di autostati con energia nulla.
Più genericamente abbiamo che
- lo spettro non-nullo di $H_1$ e $H_2$ è lo stesso.
- $H_1$ e $H_2$ hanno gli stessi coefficienti di riflessione/trasmissione.
Queste proprietà tornano utili per diverse applicazioni che vedremo nel prossimo articolo.