La transizione BKT è uno strano esempio di transizione di fase che avviene in certi sistemi fisici, come ad esempio le pellicole superfluide (cioè un superfluido bidimensionale). Il nome BKT sta per le iniziali delle tre persone coinvolte nella scoperta, Berezinskii, Kosterlitz e Thouless.
La scoperta è ben strana perché, come vedremo, un teorema rigoroso sembra proibire le transizioni di fase in un sistema del genere. Tuttavia gli esperimenti mostrano chiaramente una transizione di fase: come riconciliare le due cose? Vedremo che la transizione è causata da “difetti topologici” piuttosto che dalla solita rottura spontanea di simmetria.
Il modello
Il modello che consideriamo è il cosiddetto modello $XY$ in due dimensioni spaziali, descritto dall’Hamiltoniana
$$\mathcal{H}[\theta] = \frac{J}{2}\int d^2 x\, \pqty{\nabla\theta}^2\tag{1}$$
dove $\theta=\theta(x)$ è un campo che prende valori in $[0,2\pi]$ e $J > 0$. La funzione di partizione è poi data dall’integrale sui cammini
$$Z = \int D\theta \,e^{-\beta \mathcal{H}}$$
Da dove viene questo modello? L’idea è di partire dal modello planare di Heisenberg, che è un modello discreto in cui abbiamo un reticolo di spin classici $\vec{s}_i$, uno per ogni sito $i$. Gli spin sono normalizzati, $\abs{\vec{s}_i}=1$, e costretti a stare su un piano, quindi $\vec{s}_i=(\cos{\theta_i},\sin{\theta_i})$ dove $\theta_i \in [0,2\pi]$ è un certo angolo. L’Hamiltoniana è data semplicemente dall’interazione tra primi vicini,
$$\mathcal{H} = -J \sum_{\langle ij \rangle} \vec{s}_i\cdot \vec{s}_j = -J \sum_{\langle ij \rangle} \cos{\pqty{\theta_i-\theta_j}}\tag{2}$$
Ora se gli spin non variano molto da un sito all’altro, possiamo prendere il limite per $\theta_i-\theta_j$ piccolo e otteniamo a meno di una costante
$$\mathcal{H} = \frac{J}{2} \sum_{\langle ij \rangle}\pqty{\theta_i-\theta_j}^2+\mathcal{O}\pqty{\theta_i-\theta_j}^4$$
Ora possiamo prendere il limite del continuo in cui la distanza $a$ tra i siti del reticolo viene azzerata, cioè $a\to 0$. Possiamo quindi approssimare in modo abbastanza ingenuo
$$\frac{\theta_i-\theta_j}{a}\approx \nabla \theta\\
\sum_{\langle ij \rangle} \approx \frac{1}{a^2} \int d^2 x$$
dove abbiamo introdotto il campo $\theta(x)$ e il fattore di $1/a^2$ dev’essere presente per motivi dimensionali. Quindi otteniamo
$$\mathcal{H} \approx \frac{J}{2}\int d^2 x\, \pqty{\nabla\theta}^2$$
dove tutti i termini di ordine superiore avranno davanti potenze positive di $a$ e quindi spariranno nel limite $a\to 0$. Abbiamo quindi ottenuto l’Hamiltoniana $(1)$. L’approssimazione è sicuramente valida a basse temperature, quando gli spin non variano molto da un sito all’altro (che è il regime di interesse, dato che la transizione avviene a basse temperature). Tuttavia ad alte temperature sarà meglio utilizzare l’Hamiltoniana $(2)$.
Il modello $(2)$ ha una simmetria $O(2)$: possiamo infatti ruotare tutti gli spin di un certo angolo, che corrisponde a $\theta_i \to \theta_i+\alpha$, e l’Hamiltoniana rimane identica; inoltre l’Hamiltoniana è anche invariante rispetto alla riflessione discreta $\theta_i \to -\theta_i$, e pertanto ha simmetria $O(2)$. Notiamo che anche l’Hamiltoniana $(1)$ ha la stessa simmetria $O(2)$.
Quali sistemi sono descritti da questo modello? Principalmente due sistemi:
- un reticolo di giunzioni Josephson, che è descritto per costruzione dall’Hamiltoniana $(2)$. Con ciò si intende un sistema realizzabile sperimentalmente in cui in ogni sito poniamo una piccola regione superconduttiva, e poi colleghiamo le varie regioni da giunzioni isolanti come nell’effetto Josephson. L’angolo $\theta_i$ di ogni giunzione è la fase della sua funzione d’onda macroscopica.
- poiché il sistema ha simmetria $O(2)$, è nella stessa classe di universalità degli altri modelli che hanno la stessa simmetria e dimensionalità. Tra questi abbiamo il modello $O(2)$, dato dall’azione $(3)$ sotto, che descrive un superfluido in due dimensioni (infatti
Azione del modello $O(2)$:
$$S[\psi]=\int d^2 x\, \bqty{\frac{1}{2}\nabla \psi^* \cdot \nabla \psi + \frac12 \mu^2 \abs{\psi}^2+g\abs{\psi}^4}$$
dove $\psi$ è un campo complesso. L’azione ha simmetria $O(2)$ data dalla rotazione della fase del campo complesso. L’equazione del moto associata a questa azione è l’equazione di Gross-Pitaevskii, che descrive un superfluido.
Il teorema di Mermin-Wagner e le fluttuazioni
Consideriamo l’Hamiltoniana $(1)$. È chiaro che $\mathcal{H} \geq 0$ e che è zero precisamente quando $\theta(x) \equiv \theta_0$ costante. A questo punto sembra evidente che abbiamo trovato lo stato fondamentale del sistema: uno qualsiasi dei $\theta_0$. Come al solito, la scelta di un $\theta_0$ piuttosto che un altro rompe la simmetria $O(2)$ e quindi nonostante l’Hamiltoniana sia $O(2)-$simmetrica, lo stato fondamentale non lo è: abbiamo rottura spontanea di simmetria.
Tuttavia, quest’analisi non funziona in questo caso. Infatti se calcoliamo le fluttuazioni attorno allo stato fondamentale, cioè
$$\langle (\theta(x) -\theta_0)\rangle^2 = 2\theta_0^2 -2\langle \theta(x)\theta_0\rangle$$
otteniamo in $d$ dimensioni, con un calcolo standard per l’integrale sui cammini,
$$\langle \theta(x)\theta_0\rangle \propto \int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \frac{e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}}{k^2} \sim \begin{cases}-r^{2-d} & d > 2\\ \log{r} & d=2 \\ r & d=1 \end{cases}$$
cioè le fluttuazioni decrescono con la distanza tra gli spin, come ci aspettiamo, per $d > 2$, mentre in $d \leq 2$, le fluttuazioni crescono con la distanza: se anche proviamo a mettere il sistema in $\theta=\theta_0$, le fluttuazioni termiche poi scombineranno tutto e il sistema non riuscirà a trovare uno stato fondamentale.
(Una nota rapida: il calcolo sopra è stato effettuato supponendo che $\theta \in (-\infty, +\infty)$; in realtà $\theta \in [0, 2\pi]$, per cui avremo ulteriori termini in $r$, ma meno importanti per $r$ grande)
Questo ragionamento è stato formalizzato per una grande classe di sistemi:
Teorema. (Mermin-Wagner) In un sistema in dimensione uno o due con interazioni sufficientemente a corto raggio, una simmetria continua non può essere rotta spontaneamente a temperatura $T > 0$.
Le nostre interazioni sono sicuramente a raggio molto corto: abbiamo infatti solo interazioni a primi vicini. La simmetria $O(2)$ è continua e sarebbe rotta da una qualsiasi scelta di $\theta=\theta_0$. Ma tutte le transizioni di fase che conosciamo sono accompagnate da una qualche rottura di simmetria: una certa media, ad esempio $\langle \theta \rangle$ funge da parametro d’ordine; è zero per la simmetria nella fase disordinata, e invece acquisisce un valore atteso non nullo nella fase ordinata in cui la simmetria è rotta. Sembrerebbe quindi che il teorema proibisca le transizioni di fase.
Tuttavia, facendo degli esperimenti con pellicole bidimensionali di superfluidi, si vede che sotto una certa temperatura critica $T_c$ il sistema è superfluido, mentre la superfluidità è distrutta sopra $T_c$. Ovvero si osserva una transizione di fase. Il nostro problema è quindi di capire come si possono riconciliare queste due cose: come si può avere una transizione di fase senza rottura spontanea di simmetria? Lo vedremo nel prossimo articolo.