Per classificare i gruppi di Lie connessi classifichiamo prima le relative algebre. In particolare ci occupiamo solo dei gruppi reali. Infatti i gruppi complessi possono essere visti come gruppi reali di dimensione doppia.
Algebre di Lie in una dimensione
In questo caso abbiamo un solo generatore, diciamo $X$, e l’unica parentesi che può soddisfare è $[X,X]=0$. Pertanto l’algebra è abeliana e isomorfa a $\mathbb{R}$.
Algebre di Lie in due dimensioni
In questo caso abbiamo due generatori, $X$ e $Y$. L’unico commutatore non banale è potenzialmente quello tra i due, per cui abbiamo in generale
$$[X,Y] = \alpha X + \beta Y$$
Se $\alpha = \beta = 0$ allora l’algebra è abeliana e isomorfa a $\mathbb{R}^2$. Altrimenti supponiamo senza perdita di generalità $\alpha \neq 0$. Allora possiamo ridefinire $Z = Y/\alpha$ e il commutatore diventa $[X,Z] =X + \beta Z$ e i nuovi generatori dell’algebra sono $X$ e $Z$. Ponendo $U=X+\beta Z$ abbiamo che $Z$ e $U$ formano una nuova base dell’algebra e soddisfano $[U,Z] = [X+\beta Z, Z] = [X, Z] = X+\beta Z = U$. Per cui otteniamo l’algebra non abeliana con due generatori $U$ e $Z$.
Pertanto abbiamo due algebre: quella abeliana con $[X,Y] = 0$ e quella non abeliana con $[X,Y]=X$.
Corrispondenza tra algebra e gruppo
Ora utilizziamo il seguente risultato, che abbiamo già visto in passato:
Teorema. Sia $G$ un gruppo di Lie connesso e sia $\widetilde G$ il suo rivestimento universale, cioè l’unico gruppo di Lie semplicemente connesso associato all’algebra di $G$. Allora $G = \widetilde{G}/X$ dove $X$ è un sottogruppo normale discreto di $\widetilde G$.
Per cui il problema è quello di trovare prima di tutto il gruppo semplicemente connesso associato alle algebre che abbiamo trovato, poi di trovarne tutti i sottogruppi normali discreti e infine di trovare tutti i possibili quozienti.
I gruppi di Lie in dimensione uno
Ora classifichiamo i gruppi. L’unica algebra in dimensione uno è quella abeliana, cioè $\mathbb{R}$ come gruppo additivo. Un gruppo che ha quest’algebra di Lie è il gruppo abeliano $\mathbb{R}$, che è anche semplicemente connesso. Segue che tutti gli altri gruppi sono quozienti di $\mathbb{R}$ per un suo sottogruppo normale discreto. Sappiamo che tutti i sottogruppi discreti di $\mathbb{R}$ sono isomorfi a $\mathbb{Z}$ e questi sono tutti normali perché $\mathbb{R}$ è un gruppo abeliano. Allora l’unico possibile quoziente è $\mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong S^1 \cong U(1)$
Segue che i gruppi di Lie connessi reali in dimensione uno sono due: $\mathbb{R}$ e $U(1)$.
I gruppi di Lie in dimensione due
Il primo caso riguarda l’algebra abeliana. Questo caso è simile al precedente: il gruppo di Lie semplicemente connesso è $\mathbb{R}^2$ e i suoi sottogruppi discreti sono $\mathbb{Z}$ e $\mathbb{Z}^2$ i cui quozienti danno $\mathbb{R} \times S^1$ e $S^1 \times S^1$.
L’altro caso è più complicato. L’algebra di Lie ha due generatori che soddisfano $[X,Y]=X$. Vediamo di trovarne una rappresentazione esplicita. Provando con le matrici $2 \times 2$ otteniamo due matrici che soddisfano le giuste relazioni di commutazione.
$$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Y = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Pertanto un elemento generico dell’algebra ha la forma
$$A = \alpha X -\beta Y = \begin{pmatrix} \beta & \alpha \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Possiamo calcolare l’esponenziale di questa matrice. Abbiamo $A^2 = \beta A$. Pertanto
$$e^A = \sum_{n=0}^\infty \frac{A^n}{n!} =I + \sum_{n=1}^\infty \frac{\beta^{n-1}}{n!}A$$
Quindi se $\beta=0$ allora
$$e^A = I + A = \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
altrimenti poiché la sommatoria comincia da $n=1$ abbiamo
$$e^A = I + (e^{\beta}-1) A /\beta = \begin{pmatrix} e^\beta & \alpha\frac{(e^\beta-1)}{\beta} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Per cui in totale possiamo descrivere il gruppo risultante come il gruppo di matrici della forma:
$$\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
con $a, b$ reali e $a>0$. La moltiplicazione è data da
$$\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ac & b+ad \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Ovvero questo gruppo è il prodotto semidiretto $\mathbb{R}^+ \ltimes \mathbb{R}$ dove $\mathbb{R}^+$ è visto come gruppo moltiplicativo e $\mathbb{R}$ come gruppo additivo, con legge moltiplicativa $(a,b) \cdot (c,d) = (ac, b+ad)$. Un gruppo collegato a questo è il gruppo delle trasformazioni affini della retta reale, che è il prodotto semidiretto $\mathbb{R}^* \ltimes \mathbb{R}$ con la stessa legge di trasformazione, dove $\mathbb{R}^*$ è il gruppo moltiplicativo di $\mathbb{R}$, cioè $\mathbb{R} -\{0\}$. Tuttavia $\mathbb{R}^*$ non è connesso (ha infatti due componenti, i numeri positivi e quelli negativi). Il gruppo che abbiamo trovato, $\mathbb{R}^+ \ltimes \mathbb{R}$ è il componente connesso all’identità di $\mathbb{R}^* \ltimes \mathbb{R}$.
Topologicamente parlando un prodotto semidiretto è la stessa cosa di un prodotto diretto, per cui $\mathbb{R}^+ \ltimes \mathbb{R}$ è come varietà il piano laterale destro $\{x \geq 0\}$, che è semplicemente connesso. Per semplificarci la vita notiamo che $\mathbb{R}^+$ come gruppo moltiplicativo è isomorfo a $\mathbb{R}$ come gruppo additivo tramite il logaritmo (la cui inversa è l’esponenziale). Per sostituirlo dobbiamo però modificare la legge del prodotto; otteniamo il gruppo $\mathbb{R} \ltimes \mathbb{R}$ con moltiplicazione $(a,b) \cdot (c,d) = (a+c, b+e^a d)$ Resta da trovare i possibili sottogruppi discreti.
Se $H$ è un sottogruppo di $\mathbb{R} \ltimes \mathbb{R}$ allora la proiezione $p: H \to \mathbb{R}$ che manda $(a,b)\to a$ è un omomorfismo continuo. Poiché vogliamo che $H$ sia discreto, la proiezione è un sottogruppo discreto di $\mathbb{R}$, per cui o è il gruppo con un elemento, oppure è isomorfo a $\mathbb{Z}$. Quindi $p(H) \cong \mathbb{Z}$ oppure $p(H)=0$. Ora $\ker{p}$ è composto da tutti gli elementi della forma $(1,a)$ in $H$, e questo dev’essere isomorfo a un sottogruppo discreto di $\mathbb{R}$. Per cui di nuovo o è il gruppo con un solo elemento, oppure è isomorfo a $\mathbb{Z}$. Allora o $H/\ker{p} \cong H$ e quindi $H \cong a^\mathbb{Z} \ltimes 0$, altrimenti abbiamo $H/\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}$ per cui abbiamo $H =\mathbb{Z} \ltimes \mathbb{Z}$ con la stessa legge del prodotto del gruppo di cui è sottogruppo. In totale abbiamo quindi tre possibilità per $H$ non banale: $H =\mathbb{Z} \ltimes \mathbb{Z}$, $H =0 \ltimes \mathbb{Z}$ oppure $H =\mathbb{Z} \ltimes 0$. A queste possibilità corrispondono i quozienti $S^1 \ltimes S^1$, $\mathbb{R} \ltimes S^1$ oppure $S^1\ltimes \mathbb{R}$.
Per cui in totale i gruppi di Lie reali connessi di dimensione 2 sono i prodotti diretti $\mathbb{R}^2$, $\mathbb{R} \times S^1$ e $S^1 \times S^1$ e i prodotti semidiretti $\mathbb{R} \ltimes \mathbb{R}$, $S^1 \ltimes S^1$, $\mathbb{R} \ltimes S^1$ oppure $S^1\ltimes \mathbb{R}$.