In un precedente articolo abbiamo visto il limite di Bargmann al numero di stati vincolati di un sistema, valido nel caso di simmetria sferica. Con gli stessi metodi possiamo generalizzare il risultato a potenziali tridimensionali senza particolari simmetrie.
Consiglio di riguardare l’articolo precedente, dato che ne utilizzeremo le idee senza esporle nuovamente.
In questo caso l’equazione di Schrodinger con energia $E=-k^2$ è data semplicemente da
$$-\nabla^2 \psi + k^2 \psi = -V(r)\psi$$
Seguiamo la stessa argomentazione del caso precedente con i $\lambda$ e il kernel. In questo caso la funzione di Green $G(\mathbf r,\mathbf r’;k)$ soddisfa
$$-\nabla^2 G + k^2 G = \delta(\mathbf r-\mathbf r’)$$
ed è data dalla ben nota soluzione
$$G(r,r’;k)=\frac{1}{4\pi}\frac{e^{-k\abs{\mathbf r-\mathbf r’}}}{\abs{\mathbf r-\mathbf r’}}$$
Pertanto sostituendo nell’equazione di Schrodinger otteniamo l’equazione agli autovalori
$$\int K(\mathbf r,\mathbf r’, k)\psi(\mathbf r’)d\mathbf r’=\frac{1}{\lambda}\psi(\mathbf r)$$
dove $K(\mathbf r,\mathbf r’, k) = |V(\mathbf r)|^{1/2} G(\mathbf r,\mathbf r’,k)|V(\mathbf r’)|^{1/2}$.
La funzione di Green in questo caso è singolare per $\mathbf r = \mathbf r’$ per cui non possiamo calcolare la traccia come abbiamo fatto prima. Possiamo però iterare il kernel due volte e poi calcolarne la traccia, ottenendo
$$\int K(\mathbf r,\mathbf r’, k)^2 d\mathbf r d\mathbf r’= \sum \frac{1}{\lambda_\alpha^2}$$
Pertanto otteniamo
$$N(E \leq -k^2) < \frac{1}{(4\pi)^2} \int |V(\mathbf r)| \frac{e^{-2k\abs{\mathbf r-\mathbf r’}}}{\abs{\mathbf r-\mathbf r’}^2} |V(\mathbf r’)|d\mathbf r d\mathbf r’$$
e quindi in particolare il numero di stati vincolati soddisfa
$$\boxed{N < \frac{1}{(4\pi)^2} \int \frac{|V(\mathbf r)| |V(\mathbf r’)|}{\abs{\mathbf r-\mathbf r’}^2} d\mathbf r d\mathbf r’}$$
che è detto limite di Schwinger.