Nel precedente articolo abbiamo visto che le fasi di una rappresentazione proiettiva formano un’ostruzione al sollevamento ad una rappresentazione unitaria e inoltre che il gruppo delle fasi $\Omega$ è isomorfo ad $U(1)$ oppure a $\mathbb{Z}_n$ per qualche $n$. In questo articolo vediamo come usare il concetto di estensione centrale per sollevare le rappresentazioni proiettive. Consiglio di leggere l’articolo sulle estensioni centrali di gruppi per chi non ne avesse familiarità.
Poiché le trasformazioni in $U(\mathcal{H})$ differiscono da quelle in $U(\mathcal{P})$ per una fase, potremmo credere che ci sia una relazione tra i due gruppi e $U(1)$. Infatti abbiamo:
Proposizione. $U(\mathcal{H})$ è un’estensione centrale di $U(\mathcal{P})$ per $U(1)$: $\require{AMScd}$
\begin{CD}
1 @>>> U(1) @>i>> U(\mathcal{H}) @>\hat\gamma>> U(\mathcal{P}) @>>> 1
\end{CD}
Dimostrazione. $i(\lambda) = \lambda \mathbb{I}$ è chiaramente iniettiva e $\hat \gamma$ è suriettiva per definizione. Poiché $\lambda \mathbb{I}$ commuta con tutti gli operatori, se l’estensione esiste è automaticamente centrale. Resta solo da controllare che $\ker{\hat \gamma}=\mathrm{im}{i} = \{\lambda \mathbb{I}\,\,|\,\, \lambda \in U(1)\}$.
Ora se $\hat\gamma(U)=\mathbb{I}$ allora dato $\phi \in \mathcal{H}$ e $[\phi] = \gamma (\phi)$ allora $\hat\gamma(U)([\phi])=\mathbb{I}[\phi]=[\phi]$. Tuttavia per definizione $\hat\gamma(U)([\phi])=[U\phi]$, per cui $[U\phi] = [\phi]$ e quindi $\phi$ e $U\phi$ si trovano nella stessa classe di equivalenza: $U\phi = \lambda \phi$ per $\lambda \in \mathbb{C}$. Poiché $U$ è unitaria, $\lambda \in U(1)$. Inoltre, $\lambda$ è indipendente da $\phi$. Infatti se $U\phi = \lambda(\phi)\phi$, applicando la legge a $\phi +\psi$ dove $\phi$ e $\psi$ sono linearmente indipendenti e usando la linearità di $U$, otteniamo $\lambda(\phi) = \lambda(\phi+\psi) = \lambda(\psi)$. Al contrario, se non sono indipedenti allora sono proporzionali, ed è facile dimostrare che $\lambda(\alpha \phi) = \lambda(\phi)$. Segue che $\lambda$ è indipendente da $\phi$ e quindi $U = \lambda \mathbb{I}$.
Al contrario, se $\lambda \in U(1)$ allora $\hat\gamma(\lambda \mathbb{I}) (\phi) = \gamma(\lambda f) = \gamma(f) = \phi$, per cui $\hat\gamma(\lambda \mathbb{I})$ è l’identità e quindi $\lambda \mathbb{I} \in \ker{\hat\gamma}$. $\square$
Quindi il gruppo $U(\mathcal{H})$ è un estensione centrale di $U(\mathcal{P})$ tramite $U(1)$. In base a tale osservazione siamo pronti a enunciare un teorema importante: dato un gruppo di simmetria $G$ dello spazio degli stati quantistico, questo può essere esteso a un gruppo $E$ in modo tale che una certa rappresentazione proiettiva di $G$ può essere sollevata ad una rappresentazione unitaria di $E$.
Teorema. Dato un gruppo $G$ e un omomorfismo $R: G \to U(\mathcal{P})$, sia $S: G \to U(\mathcal{H})$ una mappa continua tale che $\hat{\gamma}(S(g))=R(g)$. Sia $\Omega$ il gruppo delle fasi proiettive di $S$. Allora esiste un’estensione centrale $E$ di $G$ tramite $U(1)$ e un omomorfismo $\widetilde{S}: E \to U(\mathcal{H})$ tale che il seguente diagramma commuti: $\require{AMScd}$
\begin{CD}
1 @>>> \Omega @>i>> E @>\pi>> G @>>> 1\\
@. @VVi’V @VV\widetilde{S}V@VVRV\\
1 @>>> U(1) @>i^{\prime\prime}>> U(\mathcal{H}) @>\hat\gamma>> U(\mathcal{P}) @>>> 1
\end{CD}
Dimostrazione: che il diagramma “commuti” significa semplicemente che andando da un punto all’altro del diagramma seguendo frecce diverse otteniamo sempre lo stesso risultato. Il punto è costruire il gruppo $E$. Lo definiamo nel modo seguente:
$$E \equiv \{G \times \Omega \,\,|\,\, (g, \alpha) \cdot (h, \beta) = (gh, \alpha\beta \omega(g,h)\}$$
È facile dimostrare che $G \times \Omega$ con la moltiplicazione così definita è un gruppo. La mappa $i:\Omega \to E$ è l’inclusione $\lambda \to (1,\lambda)$, chiaramente iniettiva, mentre la mappa $\pi: E \to G$ è la proiezione $(g,\alpha) \to g$, chiaramente suriettiva. Inoltre se $(g,\alpha) \to 1$ allora $(g,\alpha)=(1,\alpha)$, per cui $\ker{\pi} = i(\Omega)$ e quindi è un’estensione, ed è facile verificare che è centrale.
La mappa $i’: \Omega \to U(1)$ è semplicemente l’inclusione. Definiamo la mappa $\widetilde{S}: E\to U(\mathcal{H})$ nella maniera seguente:
$$\widetilde{S}(g,\alpha)\equiv\alpha S(g)$$
$\widetilde{S}$ è un omomorfismo, perché
$$\widetilde{S}((g,\alpha)(h,\beta))=\widetilde{S}(gh, \alpha\beta \omega(g,h))=\alpha\beta \omega(g,h)S(gh)=\alpha\beta S(g) S(h) = \widetilde{S}(g,\alpha)\widetilde{S}(h,\beta)$$
dove abbiamo usato la formula per $S$: $S(g) S(h)=\omega(g,h)S(gh)$. Pertanto $\widetilde{S}$ è una rappresentazione unitaria di $E$.
Resta da dimostrare che il diagramma commuta, cioè che $\widetilde{S} \circ i = i^{\prime\prime}\circ i’$ e $R \circ \pi = \hat\gamma \circ \widetilde{S}$. Per il primo caso abbiamo $\widetilde{S} \circ i(\lambda) = \widetilde{S}(1,\lambda)=\lambda S(1)=\lambda\mathbb{I}$, mentre $i^{\prime\prime}\circ i'(\lambda)= i^{\prime\prime}(\lambda)=\lambda$. Nel secondo caso abbiamo invece $R \circ \pi(g,\alpha) = R(g)$, mentre $\hat\gamma \circ \widetilde{S}(g,\alpha) = \hat\gamma(\alpha S(g))$. Ma per definizione $\hat\gamma(\alpha S(g))[\psi] = [\alpha S(g) \psi] = [S(g)\psi] = R(g)[\psi]$. $\square$
Notiamo che vale anche il fatto contrario: ovvero data una rappresentazione $\widetilde S$ di $E$, allora la rappresentazione $S(g) = \alpha^{-1} \widetilde{S}(g,\alpha)$ è una rappresentazione proiettiva di $G$. Pertanto abbiamo una corrispondenza tra le rappresentazioni proiettive di $G$ e le sue estensioni. Non abbiamo in genere una biezione perché la stessa rappresentazione proiettiva $R$ può corrispondere a più $S$, che hanno quindi $\omega$ diverse e quindi estensioni diverse.
Notiamo inoltre che la costruzione del gruppo $E$ è del tutto analoga alla costruzione di un’estensione a partire da un cociclo descritta nell’articolo sulla classificazione delle estensioni centrali. In questo caso infatti $\omega$ è un cociclo. Notiamo appunto che due cocicli che soddisfano $\omega’(g,h) = \omega(g,h) f(gh) f(g)^{-1} f(h)^{-1}$ generano quindi la stessa estensione centrale, e in tal caso le corrispondenti mappe $S$ corrispondono a una semplice ridefinizione $S'(g) = f(g) S(g)$. Se in particolare $\omega’$ è equivalente al cociclo banale $\omega \equiv 1$, allora l’estensione del gruppo di Lie è banale, cioè è un prodotto diretto, e al contempo basta una semplice ridefinizione per rendere $S$ una rappresentazione unitaria.
Ciò che abbiamo dimostrato è che è sempre possibile sollevare una rappresentazione proiettiva di un gruppo ad una rappresentazione unitaria di una sua estensione. Ciò non risolve del tutto il nostro problema, ma è un risultato molto importante che ci permette di fare notevoli progressi, come vedremo nel prossimo articolo.