A temperatura ambiente i metalli riflettono quasi tutta la luce visibile e appaiono di colore argenteo e lucente. Tuttavia ad alte frequenze i metalli lasciano passare quasi tutti i fotoni. In questo senso i metalli si dicono “trasparenti” alle alte frequenze. (Ciò non significa che sparandoci fotoni ad alte frequenze, il metallo diventerà trasparente anche alla luce visibile, ma solo che lascia passare la radiazione elettromagnetica ad alte frequenze)
Il fenomeno può essere spiegato in base alla teoria di Drude, che abbiamo già visto in un precedente articolo. Un fotone è un’onda elettromagnetica, per cui ci interessa la resistività in corrente alternata:
$$\rho(\omega) = \rho_{CC}(1-i\omega \tau)$$
La relazione tra densità di corrente e campo elettrico è quindi $\mathbf E(\omega) = \rho(\omega)\mathbf j(\omega)$ dove abbiamo supposto una dipendenza temporale implicita, per cui ad esempio $\mathbf E(t) = \mathrm{Re}(\mathbf E(\omega) e^{-i\omega t})$. Supporremo che la stessa relazione valga anche quando le varie quantità dipendono dalla posizione. Ovvero
$$\mathbf E(\omega, \mathbf x) = \rho(\omega)\mathbf j(\omega, \mathbf x)$$
Ciò non è strettamente vero, perché nel modello di Drude abbiamo supposto che tutti gli elettroni si muovano sotto l’azione dello stesso campo elettrico. Tuttavia l’approssimazione sarà buona se il campo non varia in modo apprezzabile tra una collisione e l’altra, ovvero se la lunghezza d’onda della luce è grande confrontata con il cammino libero medio degli elettroni. Quest’ultimo può essere stimato come $l = v \tau$ poiché $\tau$ è il tempo medio tra due collisioni, mentre $v$ è la velocità media degli elettroni, che può essere stimata con la legge di equipartizione dell’energia $\frac{1}{2}m v^2 = \frac{3}{2}k_B T$. Il valore di $\tau$ può invece essere calcolato a partire dalla resistività in corrente continua. A temperatura ambiente troviamo $l \approx 10^{-10}-10^{-9} \mathrm{m}$. L’approssimazione sarà quindi valida per frequenze inferiori a $\approx 10^{18}-10^{19}\mathrm{Hz}$, che include buona parte dello spettro luminoso fino a circa i raggi X, ma non i raggi gamma.
Assumendo che l’approssimazione sia valida, possiamo scrivere le equazioni di Maxwell in presenza di corrente:
\begin{align*}
\nabla \cdot \mathbf E &= \nabla \cdot \mathbf B = 0\\
\nabla \times \mathbf E &= -\pdv{\mathbf B}{t}\\
\nabla \times \mathbf B &= \mu_0 \mathbf j + \frac{1}{c^2}\pdv{\mathbf E}{t}
\end{align*}
Seguiamo la solita procedura per ottenere l’equazione d’onda,
$$\nabla \times \nabla \times \mathbf E = -\pdv{\nabla \times \mathbf B}{t} = -\mu_0 \pdv{\mathbf j}{t} -\frac{1}{c^2}\pdv{^2\mathbf E}{t^2}$$
e quindi poiché $\nabla \cdot \mathbf E=0$, usando un’identità del calcolo vettoriale otteniamo $\nabla \times \nabla \times \mathbf E = -\nabla^2 \mathbf E$ e l’equazione d’onda è
$$\nabla^2 \mathbf E=\mu_0 \pdv{\mathbf j}{t} +\frac{1}{c^2}\pdv{^2\mathbf E}{t^2}$$
Inserendo la dipendenza temporale postulata sopra e la relazione tra corrente e campo elettrico abbiamo quindi
$$\nabla^2 \mathbf E(\omega)+\frac{\omega^2}{c^2}\bqty{1+\frac{i\epsilon_0}{\omega\rho_{CC}(1-i\omega\tau)}}\mathbf E(\omega)=0$$
L’equazione è quindi un’equazione d’onda con una costante dielettrica complessa, $\nabla^2 \mathbf E(\omega)+\frac{\omega^2}{c^2}\epsilon(\omega)\mathbf E(\omega)=0$ dove
$$\epsilon(\omega) = 1-\frac{\epsilon_0\tau}{\rho_{CC}(1+\omega^2\tau^2)}+\frac{\epsilon_0i}{\omega\rho_{CC}(1+\omega^2\tau^2)}$$
La soluzione dell’equazione d’onda dipende qualitativamente dalla parte reale della costante dielettrica: se la parte reale è positiva, allora la soluzione sarà oscillatoria; se la parte reale è negativa la soluzione sarà esponenzialmente decrescente (ad esempio pensiamo in una dimensione, dove $\nabla^2 = \partial^2_x$). In particolare nel caso in cui $\omega\tau \gg 1$ la costante dielettrica si riduce a
$$\epsilon(\omega) = 1-\frac{\epsilon_0\tau}{\rho_{CC}\omega^2\tau^2}=1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2}$$
dove $\omega_p^2 = \frac{\epsilon_0 e^2 n}{m}$ è detta frequenza di plasma. Per cui per frequenze maggiori della frequenza di plasma, la soluzione è oscillatoria e quindi il passaggio dell’onda è permesso; per frequenze inferiori il passaggio dell’onda è esponenzialmente smorzato, ed esibirà una lunghezza di penetrazione pari a
$$\frac{c}{\sqrt{\omega_p^2-\omega^2}}$$
Lo stesso formalismo può essere adottato per studiare il comportamento a basse frequenze, $\omega \tau \ll 1$.