Abbiamo visto cos’è l’estensione centrale di un gruppo. Ora ci vogliamo occupare del problema di trovare tutte le estensioni centrali di un certo gruppo, ovvero dati due gruppi $A$ e $G$ e un’estensione centrale $\require{AMScd}$
\begin{CD}
1 @>>> A @>>> E @>>> G @>>> 1
\end{CD} vogliamo trovare tutti i possibili gruppi $E$.
Definizione. Una mappa tra gruppi $\omega: G \times G \to A$ dove $A$ è abeliano, che soddisfa:
- $\omega(1,1)=1$
- $\omega(x,y)\omega(xy,z) = \omega(x,yz) \omega(y,z)$
è chiamata cociclo.
Proposizione 1. Data un’estensione centrale \begin{CD}
1 @>>> A @>i>> E @>j>> G @>>> 1
\end{CD} e una mappa $s: G \to E$ (non necessariamente un omomorfismo) che soddisfa $j \circ s = \mathrm{id}$ e $s(1)=1$, allora la mappa $\omega: G\times G \to A$ definita come $\omega(x,y) = s(x) s(y) s(xy)^{-1}$ è un cociclo.
Dimostrazione. $\omega(1,1)=1$ segue da $s(1)=1$. Inoltre usando il fatto che $A$ è centrale e quindi commuta con tutti gli elementi di $E$:
\begin{align*}
\omega(x,y)\omega(xy,z) &= s(x) s(y) s(xy)^{-1} s(xy) s(z) s(xyz)^{-1}=\\
&= s(x) s(y) s(z) s(xyz)^{-1}=\\
&= s(x) s(y) s(z) s(yz)^{-1} s(yz) s(xyz)^{-1}=\\
&= s(x) \omega(y,z) s(yz) s(xyz)^{-1}=\\
&= s(x) s(yz) s(xyz)^{-1} \omega(y,z)=\\
&= \omega(x,yz) \omega(y,z)
\end{align*}
e ciò conclude la dimostrazione $\square$
Al contrario, dato un cociclo possiamo costruire un’estensione.
Proposizione 2. Dato un cociclo $\omega$, sia $A \times_\omega G$ il gruppo dato da $A \times G$ con il prodotto $(a,x)(b,y)=(\omega(x,y)ab, xy)$. Allora abbiamo un’estensione centrale\begin{CD}
1 @>>> A @>i>> A \times_\omega G @>j>> G @>>> 1
\end{CD}
Dimostrazione. La dimostrazione che $A \times_\omega G$ è un gruppo è abbastanza lunga ma semplice; la parte importante è utilizzare la proprietà di cociclo di $\omega$ per dimostrare l’associatività del prodotto.
La mappa $i: A \to A \times_\omega G$ è semplicemente data dall’inclusione $i(a)=(a,1)$, che è un’omomorfismo iniettivo, mentre $j: A \times_\omega G \to G$ è la proiezione $j(a,g) =g$, che è chiaramente un omomorfismo suriettivo. Dimostrare che l’estensione è centrale non è difficile. $\square$
Poiché è sempre possibile ottenere una mappa $s$ come richiesto dalla Prop. 1, allora la somma delle Prop. 1 e 2 dà una corrispondenza tra estensioni centrali e cocicli.
In particolare, alcuni cocicli danno luogo ad estensioni spezzate:
Proposizione 3. Dato un cociclo $\omega$, l’estensione centrale costruita come nella Prop. 2 si spezza se e solo se esiste una mappa $\lambda: G \to A$ tale che
$$\lambda(xy)=\omega(x,y)\lambda(x)\lambda(y)$$
Dimostrazione. Data la funzione $\lambda$ possiamo definire una mappa $\sigma: G \to A \times_\omega G$ tramite la formula $\sigma(x) = (\lambda(x), x)$. Questa soddisfa $j \circ \sigma = \mathrm{id}$ e usando la proprietà di $\lambda$, un semplice calcolo mostra che $\sigma$ è un omomorfismo, per cui $\sigma$ spezza l’estensione.
Al contrario, dato un omomorfismo $\sigma: G \to A \times_\omega G$ tale che $j \circ \sigma = \mathrm{id}$, scriviamo $\sigma(x) = (\lambda(x), \mu (x))$. Pertanto $j \circ \sigma = \mathrm{id}$ è equivalente a $\mu(x) = x$. Poiché $\sigma$ è un omomorfismo, un semplice calcolo dà la formula richiesta per $\lambda$. $\square$
È chiaro che ad ogni estensione corrispondano più cocicli, perché possiamo scegliere mappe $s$ diverse. Al contrario, la costruzione inversa (Prop. 2) è unicamente definita dato il cociclo, tuttavia diversi cocicli potrebbero dare estensioni equivalenti. Rimane solo da rispondere alla domanda su quali siano i cocicli che danno luogo a estensioni centrali equivalenti.
Proposizione 4. Due estensioni centrali $E$ ed $E’$ date da due cocicli $\omega$ e $\omega’$ sono equivalenti se e solo esiste una mappa $\lambda: G \to A$ tale che
$$\omega’(x,y) =\omega(x,y) \lambda(xy) \lambda(x)^{-1} \lambda(y)^{-1}$$
Dimostrazione. Supponiamo che $\omega$ e $\omega’$ siano due cocicli che soddisfano la formula di cui sopra. Allora possiamo definire la mappa $\sigma: A \times_{\omega} G \to A \times_{\omega’} G$ in modo che $\sigma(a, x) = (\lambda(x)a, x)$. Possiamo verificare che è un omomorfismo:
\begin{align*}
\sigma((a,x)(b,y)) &=\sigma(\omega(x,y)ab, xy)=\\
&= (\lambda(xy) \omega(x,y) ab, xy) =\\
&=(\omega’(x,y) \lambda(x) \lambda(y) ab, xy) =\\
&=(\lambda(x)a, x) (\lambda(y)a, y) = \sigma(a,x)\sigma(b,y)
\end{align*}
dove abbiamo ripetutamente usato il fatto che $A$ è abeliano. Resta da dimostrare che è un isomorfismo. Ma se $\sigma(a, x) = (1,1)$ allora $(\lambda(x)a, x) = (1,1)$ e quindi $x=1$ e $\lambda(1)a = 1$. Inserendo $x=y=1$ nell’espressione che connette $\omega$ e $\omega’$ otteniamo $\lambda(1)=1$ per cui $a = 1$ e $\sigma$ è un isomorfismo.
Al contrario, supponiamo che le due estensioni $E$ ed $E’$ siano equivalenti. Ciò significa che il seguente diagramma commuta:
\begin{CD}
1 @>>> A @>i>> E @>j>> G @>>> 1\\
@. @VV\mathrm{id}V @VV\sigma V@VV\mathrm{id}V\\
1 @>>> A @>i’>> E’ @>j’>> G @>>> 1
\end{CD}
dove $\sigma$ è un omomorfismo. Poiché il diagramma commuta possiamo identificare $\sigma \circ i(A) \cong i'(A) \cong A$. Abbiamo quindi due mappe $s: G \to i(A) \cong A$ e $s’: G \to i'(A) \cong A$ tali che $\omega(x,y) = s(x) s(y) s(xy)^{-1}$ e $\omega’(x,y) = s'(x) s'(y) s'(xy)^{-1}$ e pertanto $\omega’(x,y) = \omega(x,y) (s(x) s'(x)^{-1})^{-1} (s(y) s'(y)^{-1})^{-1} (s(xy) s'(xy)^{-1})$ per cui $\lambda(x) = s(x) s'(x)^{-1}$. $\square$
Vediamo che la Prop. 3 è un caso particolare della Prop. 4: in tal caso $\omega$ è equivalente al cociclo banale $\omega’ \equiv 1$, che dà luogo all’estensione centrale banale, cioè il prodotto diretto.
Per tenere conto soltanto dei cocicli inequivalenti, definiamo il secondo gruppo di coomologia:
Definizione. Dati un gruppo $G$ e un gruppo abeliano $A$ il loro secondo gruppo di coomologia è
$$H^2(G,A) = \{\mathrm{cocicli}\,\,\omega : G \times G \to A\}/\sim$$
dove due cocicli $\omega$ e $\omega’$ sono equivalenti $\omega \sim \omega’$ se esiste una funzione $\lambda$ tale che
$$\omega’(x,y) =\omega(x,y) \lambda(xy) \lambda(x)^{-1} \lambda(y)^{-1}$$
Il risultato da portare a casa è che per classificare le estensioni centrali è sufficiente classificare i cocicli. Ciò è spesso estremamente difficile in pratica, ma ciò nonostante questo risultato torna spesso utile.