In un articolo precedente abbiamo derivato la Lagrangiana del campo scalare, basandoci sui seguenti requisiti:
- La Lagrangiana è invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz e alle traslazioni spaziotemporali, ed è reale.
- Le equazioni di EL possono contenere al massimo derivate del second’ordine: ciò segue dal teorema di Ostrogradski, per cui se contenesse derivate di ordine più alto allora l’Hamiltoniana corrispondente sarebbe illimitata inferiormente, cioè instabile.
- Le equazioni di EL devono essere lineari. Ciò segue dal fatto che stiamo considerando una teoria libera, cioè senza interazioni: due particelle dello stesso tipo devono potersi sovrapporre senza interazioni.
- Le equazioni di EL devono riprodurre l’equazione relativistica dell’energia per una particella libera: $p^\mu p_\mu = m^2$. Questo perché stiamo studiando una teoria relativistica libera, per cui le particelle devono soddisfare la relazione di dispersione per una particella libera relativistica.
In questo articolo deriviamo la Lagrangiana per gli spinori, partendo dagli spinori di Weyl. Consideriamo solo il caso di uno spinore sinistro $\chi$, poiché il caso di uno spinore destro è quasi identico. Dalla teoria delle rappresentazioni sappiamo che $\chi$ ha due componenti, e trasforma secondo la legge
$$\chi’ = S_S \chi\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{dove}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, S_S = \exp{\bqty{\frac{1}{2}i\sigma_k (\alpha_k-i\eta_k)}}$$
dove $\alpha_k$ ed $\eta_k$ sono le coordinate canoniche che parametrizzano le rotazioni e le spinte rispettivamente. Questo è un risultato che possiamo assumere perché segue dalla classificazione delle rappresentazioni del gruppo di Lorentz.
Come abbiamo visto nel caso scalare, se l’equazione di EL è del second’ordine e soddisfa la condizione $4$, allora è l’equazione di Klein-Gordon:
$$(\partial^\mu \partial_\mu + m^2) \chi=0$$
Ciò perché nello spazio dei momenti l’equazione dev’essere necessariamente $(-p^\mu p_\mu + m^2) \widetilde\chi=0$. Non è difficile convincersi che non è possibile scrivere nessun’altra equazione compatibile con le date condizioni.
Questo è vero se l’equazione è del second’ordine. Chiaramente per la condizione 2 l’equazione non può essere di ordine maggiore al secondo. Tuttavia, possiamo trovare un’equazione del prim’ordine per $\chi$? Una tale equazione deve avere la forma:
$$A^\mu \partial_\mu \chi + b \chi = 0$$
Se $A^\mu$ fosse un vettore di Lorentz ciò romperebbe l’invarianza perché definirebbe una direzione privilegiata. Tuttavia poiché $\chi$ ha due componenti, $A^\mu$ può essere una matrice. Una Lagrangiana che dà questa equazione di EL è:
$$\mathcal{L} = \chi^\dagger A^\mu \partial_\mu \chi + b \chi^\dagger \chi$$
Il secondo termine è un problema: poiché $S_S$ non è unitaria, segue che questo termine non è invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz. Possiamo provare a sistemare la situazione inserendo una matrice tra i due spinori: $\chi^\dagger B \chi$. La matrice deve soddisfare:
$$S_S^\dagger B S_S = B$$
Ovvero in termini infinitesimi:
$$\pqty{1-\frac{1}{2}i\sigma_k (\alpha_k+i\eta_k)} B\pqty{1+\frac{1}{2}i\sigma_k (\alpha_k-i\eta_k)} = B\\
(-\sigma_k B + B\sigma_k)\alpha_k-i\eta_k (\sigma_k B+B\sigma_k) = 0$$
cioè $B$ deve sia commutare che anticommutare con le tre matrici $\sigma$. Possiamo verificare con la forza bruta che l’unica matrice del genere è $B \equiv 0$.
Siamo pertanto costretti a cambiare idea. L’unico altro termine scalare costruibile da $\chi$ è $\chi^T \chi$. Tuttavia questo termine non è reale, per cui dobbiamo prenderlo insieme al suo complesso coniugato: $\chi^T \chi + \chi^\dagger \chi^*$. Tuttavia la matrice $S_S$ non è una trasformazione ortogonale, per cui è chiaro che anche questo termine non è invariante per le trasformazioni di Lorentz. Possiamo provare a sistemare la questione inserendo come prima una matrice $B$ in modo da formare il termine $\chi^T B \chi$. In termini infinitesimali, troviamo che in questo caso $B$ deve soddisfare:
$$B\sigma_k +\sigma_k^T B=0$$
Con la forza bruta questa volta troviamo che l’equazione può essere soddisfatta da $B=\sigma_2$. Per cui la Lagrangiana è
$$\mathcal{L} = \chi^\dagger A^\mu \partial_\mu \chi + b (\chi^T \sigma_2 \chi-\chi^\dagger \sigma_2 \chi^*)$$
Ora concentriamoci sul primo termine. Perché sia invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz dobbiamo avere:
$$S_S^\dagger A^\mu S_S = \Lambda^{\mu}_{\,\,\nu} A^\nu$$
in modo tale da assorbire la trasformazione della derivata. Svolgendo i conti come prima troviamo $A^\mu = i\bar{\sigma}^\mu = i(1, -\sigma)$ dove il fattore $i$ serve per rendere la Lagrangiana reale:
$$\mathcal{L} = \chi^\dagger i\bar{\sigma}^\mu \partial_\mu \chi + b (\chi^T \sigma_2 \chi-\chi^\dagger \sigma_2 \chi^*)$$
Questa è la Lagrangiana per un campo di Majorana, mentre nel caso $m=0$ è la Lagrangiana per il campo di Weyl. (Per chi sa cosa sono, va notato che il termine di Majorana sopra ha senso solo se $\chi$ è uno scalare di Grassmann)
Il caso degli spinori di Dirac procede invece nella stessa maniera: partendo dalla legge di trasformazione, cerchiamo una legge del prim’ordine che soddisfi i nostri requisiti. La procedura è sempre la stessa: l’unica variazione è che stavolta esiste una matrice $B$ tale che $\psi^\dagger B \psi$ è invariante, cioè $B=\gamma^0$. Alla stessa maniera, possiamo includere un termine simile a quello di Majorana per la massa, che dà la formulazione quadridimensionale degli spinori di Majorana.