Una delle lamentele più comuni nei confronti della teoria dei campi è che non si sa come sono ottenute le Lagrangiane della teoria. Qui rimediamo a questo problema, mostrando come le Lagrangiane sono determinate unicamente dalla simmetria di Lorentz. La procedura logica è la seguente:
- Vogliamo una teoria relativistica, per cui la Lagrangiana deve essere invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz. In particolare la Lagrangiana è una funzione dei campi, e se la vogliamo invariante i campi devono avere una trasformazione definita rispetto alle trasformazioni di Lorentz, cioè devono corrispondere ad una rappresentazione del gruppo di Lorentz;
- La teoria delle rappresentazioni del gruppo di Lorentz ci indica pertanto quali sono i campi ammissibili e qual è la loro legge di trasformazione. Questa è una procedura interamente algebrica che può essere svolta dal vostro amico matematico che non sa nulla di fisica.
- In base a queste regole e col requisito che la Lagrangiana corrisponda ad una teoria di campo libera, cioè senza interazioni, la legge di trasformazione del campo determina unicamente la sua Lagrangiana (ovviamente a meno di costanti e derivate totali).
Aggiungendo una derivata totale alla lagrangiana otteniamo una Lgrangiana equivalente, cioè una Lagrangiana che dà le stesse equazioni del moto. Per cui nel derivare la Lagrangiana considereremo principalmente le sue equazioni di Eulero-Lagrange (EL), che invece devono essere le stesse. Nel derivare la Lagrangiana assumeremo i seguenti fatti:
- La Lagrangiana è invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz e alle traslazioni spaziotemporali, ed è reale.
- Le equazioni di EL possono contenere al massimo derivate temporali del second’ordine: ciò segue dal teorema di Ostrogradski, per cui se contenesse derivate di ordine più alto allora l’Hamiltoniana corrispondente sarebbe illimitata inferiormente, cioè instabile.
- Le equazioni di EL devono essere lineari. Ciò segue dal fatto che stiamo considerando una teoria libera, cioè senza interazioni: due particelle dello stesso tipo devono potersi sovrapporre senza interazioni.
- Le equazioni di EL devono riprodurre l’equazione relativistica dell’energia per una particella libera: $p^\mu p_\mu = m^2$. Questo perché stiamo studiando una teoria relativistica libera, per cui le particelle devono soddisfare la relazione di dispersione per una particella libera relativistica.
I principi proposti sono estremamente generali: se la $1$ non valesse, non c’è speranza che la teoria sia invariante di Lorentz; $2$ è il requisito di stabilità della teoria, $3$ e $4$ seguono dal fatto che stiamo cercando una teoria libera.
Un campo scalare è invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz, per cui per definizione
$$\phi'(x’) = \phi(x)$$
Dal requisito $3$ l’equazione di Eulero-Lagrange dev’essere lineare, per cui ha la forma:
$$\mathcal{D} \phi = 0$$
dove $\mathcal{D}$ è un qualche operatore che non coinvolge $\phi$. Che cosa può contenere $\mathcal{D}$? Può certamente contenere derivate $\partial_\mu$, ma non può contenere $x^\mu$ perché ciò violerebbe l’invarianza per traslazioni. Inoltre, per il requisito $2$, $\mathcal{D}$ può contenere al massimo derivate del second’ordine.
Possiamo inoltre supporre senza perdita di generalità che $\mathcal{D}$ non abbia indici liberi: se li avesse, poiché $\phi$ ha un solo componente allora potremmo considerare vari valori dell’indice libero e ridurci al caso in cui non ha indici liberi. In altri termini, poiché $\phi$ non ha indici, se $\mathcal{D}$ avesse indici liberi allora li avrebbe anche la Lagrangiana, ma ciò non è possibile perché la Lagrangiana è uno scalare di Lorentz. Per cui in generale rimane una possibilità:
$$\mathcal{D}\phi = A^{\mu\nu} \partial_\mu \partial_\nu \phi + B^\mu \partial_\mu \phi +c\phi=0$$
dove i vari coefficienti devono essere costanti per mantenere l’invarianza per traslazioni. Poiché $B^\mu$ è un vettore di Lorentz, esso definisce una direzione privilegiata rompendo l’invarianza. Per cui $B^\mu = 0$.
Alla stessa maniera, perché $A^{\mu\nu} \partial_\mu \partial_\nu \phi$ sia invariante, deve soddisfare $\Lambda^{\,\,\,\,\alpha}_{\mu} \Lambda^{\,\,\,\,\beta}_{\nu} A_{\alpha \beta} = A_{\mu \nu}$ per una qualsiasi trasformazione di Lorentz $\Lambda$. Questa è sicuramente soddisfatta prendendo $A\propto \eta$ proporzionale alla metrica di Minkowski, e possiamo dimostrare che questa è l’unica soluzione. La condizione per $A$ in forma matriciale è $\Lambda A \Lambda^T = A$. Sappiamo anche che la metrica di Minkowski soddisfa $\Lambda \eta \Lambda^T = \eta$ per cui moltiplicando per $\Lambda^T \eta$ abbiamo
$$\underbrace{\Lambda^T \eta\Lambda}_{=\eta} A \Lambda^T =\Lambda^T \eta A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[\eta A, \Lambda^T]=0$$
Quindi $\eta A$ commuta con la matrice $\Lambda^T$, che è una rappresentazione irriducibile del gruppo di Lorentz (in particolare è la rappresentazione $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$). Segue quindi dal lemma di Schur che $\eta A$ è o zero o proporzionale all’identità. Se fosse zero l’equazione differenziale diventa $\phi=0$ che non ha senso, per cui dev’essere $A \propto \eta$.
Una costante davanti è irrilevante, per cui possiamo prendere $A^{\mu\nu} = \eta^{\mu\nu}$, e segue che
$$\mathcal{D}\phi = \partial^\mu \partial_\mu \phi +c\phi=0$$
Passando allo spazio dei momenti usando la trasformata di Fourier otteniamo:
$$(-p^\mu p_\mu + c) \widetilde \phi = 0$$
per cui concludiamo dal requisito $4$ che $c=m^2$. Pertanto
$$\mathcal{D}\phi = \partial^\mu \partial_\mu \phi +m^2\phi=0$$
e una Lagrangiana che dà questa equazione è appunto la lagrangiana del campo scalare:
$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi -\frac{1}{2}m^2\phi^2$$
Nel prossimo articolo consideriamo il caso degli spinori: il ragionamento è essenzialmente lo stesso.