Abbiamo visto nelle puntate precedenti le proprietà delle forme differenziali, e in particolare del prodotto esterno. Qui vediamo la definizione del prodotto interno tra forme differenziali, la cui utilità è legata al fatto che è usato per definire il duale di Hodge, un oggetto di grande importanza.
Prodotto interno tra forme
Date due $1-$forme $\alpha$ e $\beta$ queste appartengono ad un certo spazio vettoriale, e possiamo quindi definirne il prodotto interno:
$$\langle \alpha, \beta \rangle = g^{ab} \alpha_a \beta_b$$
dove $g_{ab}$ è l’inversa della metrica che abbiamo imposto sullo spaziotempo. Possiamo estendere questo prodotto interno al prodotto di due $p-$forme? Ad esempio se
$$\alpha = \alpha_1 \wedge \cdots \wedge \alpha_p\\
\beta = \beta_1 \wedge \cdots \wedge \beta_p$$
dove $\alpha_i$ e $\beta_i$ sono delle $1-$forme, possiamo definire il prodotto interno $\langle \alpha, \beta \rangle$? Sicuramente vogliamo che il prodotto interno sia bilineare; tuttavia non richiederemo che sia definito positivo, perché la metrica non è necessariamente definita positiva. Una prima idea potrebbe essere:
$$\langle \alpha, \beta \rangle = \langle \alpha_1, \beta_1 \rangle \cdots \langle \alpha_p, \beta_p \rangle$$
ovvero il prodotto interno delle $p-$forme è il prodotto dei prodotti interni delle $1-$forme che le compongono. È chiaro però che non funziona: se scambiamo $\alpha_1$ con $\alpha_2$, allora $\alpha \to -\alpha$ prende un segno meno, e poiché il prodotto interno è bilineare anche $\langle \alpha, \beta \rangle \to -\langle \alpha, \beta \rangle$, mentre il membro destro non ha necessariamente questa proprietà di simmetria.
Risulta quindi evidente che a causa dell’antisimmetria del prodotto esterno se vogliamo ottenere il prodotto interno delle $p-$forme a partire da quello delle $1-$forme, abbiamo bisogno di un oggetto completamente antisimmetrico. E se cerchiamo un’operatore bilineare antisimmetrico la risposta giusta è sempre il determinante. Infatti definiamo:
$$\langle \alpha, \beta \rangle = \det{(\langle \alpha_i , \beta_j \rangle)}$$
La notazione è semplice: costruiamo la matrice $A$ i cui elementi sono $A_{ij} = \langle \alpha_i , \beta_j \rangle$ e poi ne calcoliamo il determinante. In questo modo se scambiamo $\alpha_1$ con $\alpha_2$, ciò equivale a scambiare due colonne di $A$ e il determinante prende un segno meno.
Esempi di prodotto interno tra forme
Ad esempio possiamo calcolare il prodotto interno tra le $2-$forme $\alpha = x dx\wedge dy$ e $\beta = y dy \wedge dx$ in $\mathbb{R}^3$. Il prodotto interno è dato da:
$$\langle \alpha, \beta \rangle = \langle x dx\wedge dy, y dy \wedge dx \rangle = xy \langle dx\wedge dy, dy \wedge dx \rangle$$
dove abbiamo usato la bilinearità del prodotto. Rimane da calcolare il prodotto interno dei due vettori base. Poiché la metrica in $\mathbb{R}^3$ è euclidea i vettori base sono ortonormali, quindi
$$\det{(\langle \alpha_i , \beta_j \rangle)} =\det \begin{pmatrix} \langle dx, dy \rangle & \langle dx, dx \rangle \\ \langle dy, dy \rangle & \langle dy, dx \rangle \end{pmatrix} =\det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = -1$$
Per cui abbiamo:
$$\langle \alpha, \beta \rangle = -xy$$
Notiamo che il risultato del prodotto interno non è un numero ma una $0-$forma, ovvero una funzione.
Il prodotto interno tra forme differenziali è cruciale nella definizione di un oggetto di grande importanza, il duale di Hodge, di cui parleremo nella prossima puntata.