Soluzioni analitiche delle equazioni TOV

Abbiamo già visto la derivazione delle equazioni di Tolman-Oppenheimer-Volkoff, e come pongano un limite alla massa di una stella fredda. Per fare ciò abbiamo utilizzato una soluzione numerica. Possiamo ottenere una soluzione analitica? Ciò è possibile, ma la maggioranza delle soluzioni è molto complicata. Ne vediamo qui alcune

Ricordiamo le equazioni TOV:

$$\begin{align*} \frac{dm}{dr} &= 4\pi r^2 \rho\\ \frac{d\Phi}{dr} &= \frac{m+4\pi r^3 p}{r(r-2m)}\\ \frac{dp}{dr} &= -(p+\rho) \Phi’\\ p &= p(\rho) \end{align*}$$

Densità costante

Poniamo semplicemente $\rho = \mathrm{costante}$. Possiamo integrare subito l’equazione per la massa imponendo $m(0)=0$:

$$m(r) = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho$$

L’equazione per la pressione diventa:

$$\frac{dp}{dr} = -(p+\rho)(3p+\rho)  \frac{\frac{4}{3}\pi r}{(1-\frac{8}{3}\pi r^2 \rho)}$$

L’equazione è separabile e possiamo integrarla facilmente:

$$p(r) =\rho \frac{\sqrt{1-\frac{8}{3}\pi R^2 \rho}-\sqrt{1-\frac{8}{3}\pi r^2 \rho}}{\sqrt{1-\frac{8}{3}\pi r^2 \rho}-3\sqrt{1-\frac{8}{3}\pi R^2 \rho}}$$

dove abbiamo usato la condizione al contorno $p(R)=0$.

L’equazione restante invece è

$$\frac{dp}{dr} = -(p+\rho) \Phi’ \implies \dv{\Phi}{p} = -\frac{1}{p+\rho}$$

Integrando possiamo scegliere la costante a piacere (sarebbe semplicemente una nuova scala temporale) e la utilizziamo per rimuovere le dimensioni nel logaritmo. Otteniamo:

$$\Phi = -\log{\pqty{\frac{p}{\rho}+1}} = \log{\pqty{ \frac{3}{2} -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-\frac{8}{3}\pi r^2 \rho}{1-\frac{8}{3}\pi R^2 \rho}}  }}$$

La metrica corrispondente è la cosiddetta metrica di Schwarzschild interna:

$$ds^2 = -\frac{1}{4}\pqty{ 3 -\sqrt{\frac{1-\frac{8}{3}\pi r^2 \rho}{1-\frac{8}{3}\pi R^2 \rho}}  }^2 dt^2 + \pqty{1-\frac{8}{3}\pi r^2 \rho}^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega^2$$

Questa soluzione ha due grossi problemi:

• La stella ha densità discontinua con l’esterno;
• La velocità del suono nella stella è infinita.

In un modello più serio la densità diminuirebbe negli strati più esterni.

Altre soluzioni

Due articoli che raccolgono diverse altre soluzioni analitiche delle equazioni TOV sono i seguenti:

• Tolman (1939), Static Solutions of Einstein’s Field Equations for Spheres of Fluid.
• Buchdahl (1967), General Relativistic Fluid Spheres III: Static Gaseous Model

Tra le soluzioni proposte da Tolman si ha ad esempio una con densità $\rho = \rho_c \bqty{1-\pqty{\frac{r}{R}}^2}$, mentre tra quelle proposte da Buchdal abbiamo ad esempio una con $\rho = 12 \sqrt{p_\star p}-5p$, una generalizzazione relativistica del politropo con $\gamma = 2$.

Tutte queste soluzioni esplicite sono estremamente complicate, al punto che anche scrivendole esplicitamente non forniscono dettagli particolarmente utili. Disegnandole con l’aiuto del computer si possono comunque confrontare con le soluzioni numeriche per valutare ad esempio l’efficacia di alcuni metodi numerici.