Ipersuperfici in relatività generale: curvatura

Abbiamo visto alcune proprietà di base delle ipersuperfici in relatività generale, e abbiamo definito la metrica indotta. Ora vediamo come definire la curvatura in due modi diversi.

Curvatura estrinseca

Definizione. La curvatura estrinseca su Σ è il tensore Kab=hcahdbcnd dove n è la normale unitaria a Σ.

In altri termini la curvatura estrinseca è la proiezione su Σ della derivata covariante della normale. La formula appena data può essere semplificata. Infatti:

Proposizione. Valgono le seguenti formule:

  • naKab=0.
  • Possiamo anche scrivere Kab=hcacnb.
  • anb=Kab±naωb, dove ωb=nccnb.

Dimostrazione. La prima segue semplicemente dal fatto che nahab=0. Inoltre poiché ndcnd=12c(ndnd)=12c(1)=12c(1)=0 espandendo la formula per Kab otteniamo Kab=hcacnb. Espandendo quest’ultima formula otteniamo Kab=anb±nanccnb, quindi scrivendo ωb=nccnb abbiamo anb=Kab±naωb, dove il ± corrisponde a tipo tempo e tipo spazio. ◻

Una proprietà per niente evidente dalla formula sopra è la simmetria:

Proposizione. La curvatura estrinseca è un tensore simmetrico: Kab=Kba.

Dimostrazione. Poiché Kabnb=Kabna=0, basta dimostrare che è simmetrica sui vettori tangenti. Siano Xa e Yb tangenti a Σ. Allora poiché naXa=nbYb=0:

(XaYbXbYa)Kab=(XaYbXbYa)(δca±nanc)cnb==Xa(Ybanb)Ya(Xbanb)==Xa(nbaYb)+Ya(nbaXb)==nb[X,Y]b=0

dove nella seconda riga abbiamo usato 0=a(nbXb)=nbXb+Xb(anb) e la stessa cosa per Y. Il risultato finale è nullo perché se Xa e Ya sono tangenti all’ipersuperficie, allora Xaaf=Yaaf=0, per cui

[X,Y]aaf=(XccYaYccXa)af=Xcc(Yaaf)Ycc(Xaaf)=0

e quindi anche [X,Y]a è tangente all’ipersuperficie. ◻

Qual è il significato della curvatura estrinseca? Possiamo riformularla in maniera da renderne più chiaro il significato, ovvero

Proposizione. La curvatura estrinseca è la derivata di Lie della metrica indotta h lungo la normale: Kab=12Lnhab

Dimostrazione. Usando la formula per la derivata di Lie in termini di derivate covarianti abbiamo:

Lnhab=ncchab+(anc)hcb+(bnc)hac

Espandendo la metrica indotta nel caso tipo tempo (l’altro è simile) abbiamo:

Lnhab=ncc(nanb)+anb+bna=Kab+Kba

dove abbiamo usato ncanc=0, poiché a(ncnc)=0. Il risultato segue dalla simmetria della curvatura intrinseca. ◻

Il significato di quest’ultima formula è chiaro quando n è tipo tempo. In tal caso la curvatura intrinseca ci dice quanto cambia la metrica indotta lungo la direzione temporale, cioè verso fuori dall’ipersuperficie. Infatti sotto certe condizioni tecniche Σ,hab,Kab sono i dati di Cauchy necessari per determinare l’intero sviluppo dello spaziotempo e della metrica a partire da Σ.

Curvatura intrinseca

La curvatura intrinseca di Σ è data dal suo tensore di Riemann. Per definire il tensore di Riemann ci serve la connessione su Σ, ovvero una definizione di derivata covariante.

Un tensore su Σ è un tensore invariante rispetto alla proiezione su Σ:

Ta1a2arb1b2bs=ha1c1harcrhd1b1hdrbrTc1c2crd1d2ds

Utilizzando la formula appena data, vediamo che un vettore X appartiene a Σ se naXa=0, ovvero se X è tangente a Σ.

Possiamo definire una derivata covariante su Σ proiettando la derivata covariante dell’intero spaziotempo M. Per un tensore su Σ, la derivata covariante è data da

DeTa1a2arb1b2bs=ha1c1harcrhd1b1hdrbrhfefTc1c2crd1d2ds

La derivata covariante D è data dalla connessione di Levi-Civita su Σ. Possiamo infatti dimostrare tramite un semplice calcolo diretto che Dehab=0 e DaDbf è simmetrica rispetto allo scambio ab, per cui la connessione è a torsione nulla.

Per Σ tipo spazio la derivata covariante su Σ di un vettore su Σ è

DeXa=hachfefXc=eXa+nenffXa+nanceXc+nanencnffXc==eXa+nenffXanaXcencnaneXcnffnc==eXa+nenffXanaXc(Kec+neωc)naneXcnf(Kfc+nfωc)==hfefXanaXcKec

dove abbiamo usato naXa=0 per un vettore invariante su Σ. Pertanto in questo caso la derivata covariante su Σ è data dalla proiezione su Σ della solita derivata covariante su M più una correzione dovuta alla curvatura estrinseca.

A questo punto possiamo definire il tensore di Riemann su Σ tramite l’identità di Ricci:

(DaDbDbDa)Xc=RcabdXd

Facendo i conti otteniamo:

Rabcd=haehfbhgchhdRefgh±2Ka[cKd]b

Cioè il tensore di Riemann su Σ è la proiezione del tensore di Riemann su M più una correzione dovuta alla curvatura estrinseca. Questa formula è detta equazione di Gauss.

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