Abbiamo visto alcune proprietà di base delle ipersuperfici in relatività generale, e abbiamo definito la metrica indotta. Ora vediamo come definire la curvatura in due modi diversi.
Curvatura estrinseca
Definizione. La curvatura estrinseca su Σ è il tensore Kab=hcahdb∇cnd dove n è la normale unitaria a Σ.
In altri termini la curvatura estrinseca è la proiezione su Σ della derivata covariante della normale. La formula appena data può essere semplificata. Infatti:
Proposizione. Valgono le seguenti formule:
- naKab=0.
- Possiamo anche scrivere Kab=hca∇cnb.
- ∇anb=Kab±naωb, dove ωb=−nc∇cnb.
Dimostrazione. La prima segue semplicemente dal fatto che nahab=0. Inoltre poiché nd∇cnd=12∇c(ndnd)=12∇c(−1)=12∂c(−1)=0 espandendo la formula per Kab otteniamo Kab=hca∇cnb. Espandendo quest’ultima formula otteniamo Kab=∇anb±nanc∇cnb, quindi scrivendo ωb=−nc∇cnb abbiamo ∇anb=Kab±naωb, dove il ± corrisponde a tipo tempo e tipo spazio.
Una proprietà per niente evidente dalla formula sopra è la simmetria:
Proposizione. La curvatura estrinseca è un tensore simmetrico: Kab=Kba.
Dimostrazione. Poiché Kabnb=Kabna=0, basta dimostrare che è simmetrica sui vettori tangenti. Siano Xa e Yb tangenti a Σ. Allora poiché naXa=nbYb=0:
(XaYb–XbYa)Kab=(XaYb−XbYa)(δca±nanc)∇cnb==Xa(Yb∇anb)−Ya(Xb∇anb)==−Xa(nb∇aYb)+Ya(nb∇aXb)==−nb[X,Y]b=0
dove nella seconda riga abbiamo usato 0=∇a(nbXb)=nb∇Xb+Xb(∇anb) e la stessa cosa per Y. Il risultato finale è nullo perché se Xa e Ya sono tangenti all’ipersuperficie, allora Xa∂af=Ya∂af=0, per cui
[X,Y]a∂af=(Xc∂cYa−Yc∂cXa)∂af=Xc∂c(Ya∂af)−Yc∂c(Xa∂af)=0
e quindi anche [X,Y]a è tangente all’ipersuperficie.
Qual è il significato della curvatura estrinseca? Possiamo riformularla in maniera da renderne più chiaro il significato, ovvero
Proposizione. La curvatura estrinseca è la derivata di Lie della metrica indotta h lungo la normale: Kab=12Lnhab
Dimostrazione. Usando la formula per la derivata di Lie in termini di derivate covarianti abbiamo:
Lnhab=nc∇chab+(∇anc)hcb+(∇bnc)hac
Espandendo la metrica indotta nel caso tipo tempo (l’altro è simile) abbiamo:
Lnhab=nc∇c(nanb)+∇anb+∇bna=Kab+Kba
dove abbiamo usato nc∇anc=0, poiché ∇a(ncnc)=0. Il risultato segue dalla simmetria della curvatura intrinseca.
Il significato di quest’ultima formula è chiaro quando n è tipo tempo. In tal caso la curvatura intrinseca ci dice quanto cambia la metrica indotta lungo la direzione temporale, cioè verso fuori dall’ipersuperficie. Infatti sotto certe condizioni tecniche Σ,hab,Kab sono i dati di Cauchy necessari per determinare l’intero sviluppo dello spaziotempo e della metrica a partire da Σ.
Curvatura intrinseca
La curvatura intrinseca di Σ è data dal suo tensore di Riemann. Per definire il tensore di Riemann ci serve la connessione su Σ, ovvero una definizione di derivata covariante.
Un tensore su Σ è un tensore invariante rispetto alla proiezione su Σ:
Ta1a2⋯arb1b2⋯bs=ha1c1⋯harcrhd1b1⋯hdrbrTc1c2⋯crd1d2⋯ds
Utilizzando la formula appena data, vediamo che un vettore X appartiene a Σ se naXa=0, ovvero se X è tangente a Σ.
Possiamo definire una derivata covariante su Σ proiettando la derivata covariante dell’intero spaziotempo M. Per un tensore su Σ, la derivata covariante è data da
DeTa1a2⋯arb1b2⋯bs=ha1c1⋯harcrhd1b1⋯hdrbrhfe∇fTc1c2⋯crd1d2⋯ds
La derivata covariante D è data dalla connessione di Levi-Civita su Σ. Possiamo infatti dimostrare tramite un semplice calcolo diretto che Dehab=0 e DaDbf è simmetrica rispetto allo scambio a↔b, per cui la connessione è a torsione nulla.
Per Σ tipo spazio la derivata covariante su Σ di un vettore su Σ è
DeXa=hachfe∇fXc=∇eXa+nenf∇fXa+nanc∇eXc+nanencnf∇fXc==∇eXa+nenf∇fXa−naXc∇enc−naneXcnf∇fnc==∇eXa+nenf∇fXa−naXc(Kec+neωc)−naneXcnf(Kfc+nfωc)==hfe∇fXa−naXcKec
dove abbiamo usato naXa=0 per un vettore invariante su Σ. Pertanto in questo caso la derivata covariante su Σ è data dalla proiezione su Σ della solita derivata covariante su M più una correzione dovuta alla curvatura estrinseca.
A questo punto possiamo definire il tensore di Riemann su Σ tramite l’identità di Ricci:
(DaDb−DbDa)Xc=R′cabdXd
Facendo i conti otteniamo:
R′abcd=haehfbhgchhdRefgh±2Ka[cKd]b
Cioè il tensore di Riemann su Σ è la proiezione del tensore di Riemann su M più una correzione dovuta alla curvatura estrinseca. Questa formula è detta equazione di Gauss.