Abbiamo visto alcune proprietà di base delle ipersuperfici in relatività generale, e abbiamo definito la metrica indotta. Ora vediamo come definire la curvatura in due modi diversi.
Curvatura estrinseca
Definizione. La curvatura estrinseca su $\Sigma$ è il tensore $K_{ab} = h_{a}^{\,\,c}h_{b}^{\,\,d}\nabla_c n_d$ dove $n$ è la normale unitaria a $\Sigma$.
In altri termini la curvatura estrinseca è la proiezione su $\Sigma$ della derivata covariante della normale. La formula appena data può essere semplificata. Infatti:
Proposizione. Valgono le seguenti formule:
- $n^a K_{ab} = 0$.
- Possiamo anche scrivere $K_{ab} = h_{a}^{\,\,c}\nabla_c n_b$.
- $\nabla_a n_b= K_{ab}\pm n_a \omega_b$, dove $\omega_b = -n^c \nabla_c n_b$.
Dimostrazione. La prima segue semplicemente dal fatto che $n^a h_{ab}=0$. Inoltre poiché $n^d \nabla_c n_d = \frac{1}{2} \nabla_c (n^d n_d) = \frac{1}{2} \nabla_c (-1) = \frac{1}{2} \partial_c (-1) = 0$ espandendo la formula per $K_{ab}$ otteniamo $K_{ab} = h_{a}^{\,\,c}\nabla_c n_b$. Espandendo quest’ultima formula otteniamo $K_{ab}=\nabla_a n_b \pm n_a n^c \nabla_c n_b$, quindi scrivendo $\omega_b = -n^c \nabla_c n_b$ abbiamo $\nabla_a n_b= K_{ab}\pm n_a \omega_b$, dove il $\pm$ corrisponde a tipo tempo e tipo spazio. $\square$
Una proprietà per niente evidente dalla formula sopra è la simmetria:
Proposizione. La curvatura estrinseca è un tensore simmetrico: $K_{ab} = K_{ba}$.
Dimostrazione. Poiché $K_{ab} n^b = K_{ab} n^a = 0$, basta dimostrare che è simmetrica sui vettori tangenti. Siano $X^a$ e $Y^b$ tangenti a $\Sigma$. Allora poiché $n_a X^a = n_b Y^b = 0$:
$$\begin{align*}
(X^a Y^b – X^b Y^a) K_{ab} &= (X^a Y^b -X^b Y^a)(\delta^c_{a} \pm n_a n^c) \nabla_c n_b=\\
&= X^a (Y^b \nabla_a n_b) -Y^a (X^b \nabla_a n_b)=\\
&=-X^a (n_b \nabla_a Y^b) +Y^a (n_b \nabla_a X^b)=\\
&=-n_b [X, Y]^b=0
\end{align*}$$
dove nella seconda riga abbiamo usato $0 = \nabla_a (n_b X^b) = n_b \nabla X^b + X^b (\nabla_a n_b)$ e la stessa cosa per $Y$. Il risultato finale è nullo perché se $X^a$ e $Y^a$ sono tangenti all’ipersuperficie, allora $X^a \partial_a f = Y^a \partial_a f = 0$, per cui
$$[X, Y]^a \partial_a f = (X^c \partial_c Y^a-Y^c \partial_c X^a) \partial_a f = X^c \partial_c (Y^a \partial_a f)-Y^c \partial_c (X^a \partial_a f)=0$$
e quindi anche $[X, Y]^a$ è tangente all’ipersuperficie. $\square$
Qual è il significato della curvatura estrinseca? Possiamo riformularla in maniera da renderne più chiaro il significato, ovvero
Proposizione. La curvatura estrinseca è la derivata di Lie della metrica indotta $h$ lungo la normale: $$K_{ab} = \frac{1}{2} \mathcal{L}_n h_{ab}$$
Dimostrazione. Usando la formula per la derivata di Lie in termini di derivate covarianti abbiamo:
$$\mathcal{L}_n h_{ab} = n^c \nabla_c h_{ab} + (\nabla_a n^c) h_{cb} + (\nabla_b n^c) h_{ac}$$
Espandendo la metrica indotta nel caso tipo tempo (l’altro è simile) abbiamo:
$$\mathcal{L}_n h_{ab} = n^c \nabla_c (n_a n_b) + \nabla_a n_b + \nabla_b n_a = K_{ab} + K_{ba}$$
dove abbiamo usato $n^c \nabla_a n_c =0$, poiché $\nabla_a (n^c n_c) = 0$. Il risultato segue dalla simmetria della curvatura intrinseca. $\square$
Il significato di quest’ultima formula è chiaro quando $n$ è tipo tempo. In tal caso la curvatura intrinseca ci dice quanto cambia la metrica indotta lungo la direzione temporale, cioè verso fuori dall’ipersuperficie. Infatti sotto certe condizioni tecniche $\Sigma, h_{ab}, K_{ab}$ sono i dati di Cauchy necessari per determinare l’intero sviluppo dello spaziotempo e della metrica a partire da $\Sigma$.
Curvatura intrinseca
La curvatura intrinseca di $\Sigma$ è data dal suo tensore di Riemann. Per definire il tensore di Riemann ci serve la connessione su $\Sigma$, ovvero una definizione di derivata covariante.
Un tensore su $\Sigma$ è un tensore invariante rispetto alla proiezione su $\Sigma$:
$$T^{a_1 a_2 \cdots a_r}_{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b_1 b_2 \cdots b_s}=h^{a_1}_{c_1} \cdots h^{a_r}_{c_r} h^{d_1}_{b_1} \cdots h^{d_r}_{b_r} T^{c_1 c_2 \cdots c_r}_{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,d_1 d_2 \cdots d_s}$$
Utilizzando la formula appena data, vediamo che un vettore $X$ appartiene a $\Sigma$ se $n_a X^a = 0$, ovvero se $X$ è tangente a $\Sigma$.
Possiamo definire una derivata covariante su $\Sigma$ proiettando la derivata covariante dell’intero spaziotempo $\mathcal{M}$. Per un tensore su $\Sigma$, la derivata covariante è data da
$$D_e T^{a_1 a_2 \cdots a_r}_{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b_1 b_2 \cdots b_s} = h^{a_1}_{c_1} \cdots h^{a_r}_{c_r} h^{d_1}_{b_1} \cdots h^{d_r}_{b_r} h^{f}_{e} \nabla_{f} T^{c_1 c_2 \cdots c_r}_{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,d_1 d_2 \cdots d_s}$$
La derivata covariante $D$ è data dalla connessione di Levi-Civita su $\Sigma$. Possiamo infatti dimostrare tramite un semplice calcolo diretto che $D_e h_{ab} = 0$ e $D_{a} D_{b} f$ è simmetrica rispetto allo scambio $a \leftrightarrow b$, per cui la connessione è a torsione nulla.
Per $\Sigma$ tipo spazio la derivata covariante su $\Sigma$ di un vettore su $\Sigma$ è
$$\begin{align*}
D_e X^a &= h^{a}_{c} h^{f}_{e} \nabla_{f} X^c = \nabla_{e} X^a+ n_e n^f\nabla_{f} X^a + n^a n_c \nabla_{e} X^c +n^a n_e n_c n^f\nabla_{f} X^c = \\
&= \nabla_{e} X^a+ n_e n^f\nabla_{f} X^a -n^a X^c \nabla_{e}n_c -n^a n_e X^c n^f\nabla_{f}n_c = \\
&= \nabla_{e} X^a+ n_e n^f \nabla_{f} X^a -n^a X^c (K_{ec}+n_e \omega_c) -n^a n_e X^c n^f (K_{fc}+n_f \omega_c) = \\
&= h^f_e\nabla_{f} X^a -n^a X^c K_{ec}
\end{align*}$$
dove abbiamo usato $n_a X^a = 0$ per un vettore invariante su $\Sigma$. Pertanto in questo caso la derivata covariante su $\Sigma$ è data dalla proiezione su $\Sigma$ della solita derivata covariante su $\mathcal{M}$ più una correzione dovuta alla curvatura estrinseca.
A questo punto possiamo definire il tensore di Riemann su $\Sigma$ tramite l’identità di Ricci:
$$(D_a D_b -D_b D_a) X^c = R’^c_{\,\,abd}X^d$$
Facendo i conti otteniamo:
$$R’^a_{\,\,bcd} = h^{a}_{e} h^{f}_{b} h^{g}_{c} h^{h}_{d} R^e_{\,\,fgh}\pm 2 K^a_{[c} K_{d]b}$$
Cioè il tensore di Riemann su $\Sigma$ è la proiezione del tensore di Riemann su $\mathcal{M}$ più una correzione dovuta alla curvatura estrinseca. Questa formula è detta equazione di Gauss.