Che cos’è l’isospin

Sappiamo tutti che ogni particella elementare ha un numero intero o semintero chiamato spin. Oltre allo spin, possiamo associare ad ogni particella un numero ulteriore detto isospin, sempre intero o semintero, che funziona allo stesso modo dello spin, sebbene spin e isospin siano completamente indipendenti. Questo numero è un’ipotesi postulata teoricamente per spiegare certe simmetrie nei decadimenti, che spiegheremo alla fine.

Che cos’è l’isospin

L’isospin ha tre componenti, $I_1, I_2, I_3$ che soddisfano le stesse regole di commutazione dello spin (cioè le stesse del momento angolare):

$$[I_i, I_j] = i\hbar \epsilon_{ijk}I_k$$

Allo stesso modo dello spin, possiamo definire l’isospin totale:

$$I^2 = I_1^2+I_2^2+I_3^2$$

Poiché l’isospin soddisfa le stesse regole di commutazione per lo spin, possiamo misurare simultaneamente gli autovalori di $I^2$ e $I_3$. Per lo spin, ogni particella ha un’autovalore di $S^2$ fisso (lo spin), mentre l’autovalore di $S_3$ può essere un numero tra $-s, -s+1, \ldots, s-1, s$, dove $s$ è lo spin, intero o semintero. Ad esempio, l’elettrone ha spin $s=1/2$, e pertanto $S_3$ può assumere solo valori $-1/2$ (giù) oppure $1/2$ (su). In particolare, una particella di spin $s$ può trovarsi in $2s+1$ possibili stati di spin.

Poiché l’isospin ha una struttura del tutto analoga allo spin, possiamo anche in questo caso raggruppare le particelle in base al valore di $I^2$ e $I_3$. Mentre lo spin, cioè l’autovalore di $S^2$ è una proprietà di una singola particella elementare, che può avere più stati, cioè autovalori di $S_3$, l’isospin funziona diversamente: l’autovalore di $I^2$ è una proprietà di una famiglia di particelle elementari, e diverse particelle sono caratterizzate da diversi valori di $I_3$.

Ad esempio, il protone e il neutrone, come vedremo, hanno isospin $I=1/2$ (autovalore di $I^2$, e perciò hanno $2$ possibili stati di $I_3$, cioè $I_3=\pm 1/2$: uno corrisponde al protone e l’altro al neutrone. L’idea cioè è che il protone e il neutrone siano solo stati diversi di una singola particella elementare, così come gli elettroni con spin $\pm$ sono solo stati diversi una singola particella, cioè l’elettrone.

Perché questa idea funzioni, è necessario che le masse di particelle in una stessa famiglia di isospin siano identiche. Infatti se queste sono solo stati diversi di un’unica particella, devono avere la stessa massa. Ciò è quasi vero per il protone e il neutrone: hanno massa molto simile ma diversa. Potrebbero forse essere due diversi stati isospin di una stessa particella? Vediamo alla fine come riconciliare questo quasi, ma per ora ci accontentiamo che le masse in una famiglia siano approssimativamente uguali.

Esempi di famiglie di isospin

Come primo esempio sappiamo che le masse di protone e neutrone sono simili, per cui li mettiamo in una famiglia, ovvero supponiamo che siano due stati isospin della stessa particella (che potremmo chiamare il nucleone):

$$\{p, n\}$$

Poiché nella famiglia ci sono due elementi, abbiamo $2I+1=2$, cioè l’isospin della famiglia è $I=1/2$. Per determinare a quale valore di $I_3$ corrisponde quale particella, dobbiamo utilizzare una legge ulteriore, anche questa postulata teoricamente, detta relazione di Gell-Mann-Nishima:

$$Q = I_3+\frac{1}{2}Y$$

dove $Q$ è la carica elettrica di una particella in unità della carica dell’elettrone e $Y$ è un numero detto ipercarica, costante per tutta la famiglia. Pertanto, poiché la carica del protone è $+1$ e la carica del neutrone è $0$, allora concludiamo con la seguente tabella:

Un’altra famiglia di particelle con massa simile sono i tre pioni:

$$\{\pi^+, \pi^0, \pi^-\}$$

dove gli apici stanno a indicare la carica della particella. Poiché sono $3$, concludiamo che hanno $I=1$, e in base alla relazione di Gell-Mann-Nishima, troviamo la seguente tabella:

Un’ulteriore esempio è la famiglia dei barioni delta, che hanno massa simile e sono formati da tre quark:

$$\{\Delta^{++},\Delta^+,\Delta^0,\Delta^-\}$$

Poiché sono quattro, dobbiamo avere $I=3/2$. Formano quindi la seguente tabella:

Decadimenti

A partire semplicemente da queste tabelle, possiamo dedurre delle conseguenze sperimentali nei possibili decadimenti. Ad esempio consideriamo:

$$\Delta^{++}\to p \, \pi^+$$

La carica è conservata, così com’è conservato il valore di $I$. Per $I_3$ abbiamo:

$$I_3 \ket{\Delta^{++}} =\frac{3}{2} \ket{\Delta^{++}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,I_3 \ket{p} =\frac{1}{2} \ket{p}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,I_3 \ket{\pi^+} = \ket{\pi^+}$$

Quindi anche $I_3$ è conservata. Come per lo spin, possiamo definire gli operatori scala $I_+$ e $I_-$. Applicando $I_-$ al decadimento sopra, otteniamo:

$$I_-\ket{\Delta^{++}} = I_- \ket{\frac{3}{2}, \frac{3}{2}} = \sqrt{3}\ket{\frac{3}{2}, \frac{1}{2}} =\sqrt{3}\ket{\Delta^+}\\
I_-\ket{p}\ket{\pi^+} = \ldots =\ket{n} \ket{\pi^+} + \sqrt{2}\ket{p}\ket{\pi^0}$$

Questi calcoli sono un po’ noiosi ma sono identici a quelli che uno farebbe per lo spin. Perciò applicando $I_-$ al decadimento sopra, abbiamo ottenuto il decadimento:

$$\ket{\Delta^+}\to\frac{1}{\sqrt{3}}\ket{n} \ket{\pi^+} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\ket{p}\ket{\pi^0}$$

Da ciò ad esempio possiamo dedurre che:

$$\frac{\mathrm{Prob}(\Delta^+\to p \pi^0)}{\mathrm{Prob}(\Delta^+\to n \pi^+)} = 2$$

cioè che un decadimento è due volte più probabile dell’altro.

Simmetria approssimata

Come abbiamo visto, all’interno di una singola famiglia, le masse non sono esattamente uguali ma solo approssimativamente uguali. Ciò perché l’isospin non è una simmetria esatta, ma solo approssimata. Ciò vuol dire questo: che se le masse dei quark fossero esattamente zero, allora l’isospin sarebbe una simmetria esatta. Poiché le masse dei quark sono solo piccole, ma non zero, allora l’isospin è appunto una simmetria “approssimata”.

Le masse dei quark sono piccole perché ad esempio pur sapendo che un protone è formato da due quark $u$ e un quark $d$, la massa del protone è molto più grande della massa dei dei quark che lo compongono. Il grosso della massa è formato da energia di legame tra i quark stessi.