Cos’è un’algebra di Clifford (#1)

Alle superiori abbiamo imparato che esistono due tipi di prodotto tra vettori. Se abbiamo due vettori $\textbf a$ e $\textbf b$, possiamo formare i prodotto scalare $\textbf a \cdot \textbf b = a_i b_i$ e il prodotto vettoriale $\textbf a \times \textbf b = \epsilon_{ijk} a_j b_k$. In quest due espressioni abbiamo adottato la convenzione di Einstein, per cui se un indice è ripetuto allora è sottintesa una sommatoria su quell’indice.

Poiché il prodotto vettoriale esiste solo in 3D, per prima cosa lo generalizziamo in dimensione arbitraria. Lo sostituiamo con il prodotto esterno:

$$\textbf a \wedge \textbf b = a_{[i} b_{j]} = \frac{1}{2}(a_i b_j -a_j b_i)$$

Le parentesi quadre sugli indici indicano antisimmetrizzazione. Il simbolo $\wedge$ è un “cuneo”. Il prodotto si legge quindi “a esterno b” oppure “a cuneo b”. A parte il fattore davanti e qualche segno potete verificare che il prodotto esterno dà circa la stessa cosa del prodotto vettoriale.

La principale differenza tra il prodotto vettoriale e il prodotto esterno è che mentre il prodotto vettoriale produce un oggetto con un solo indice libero (cioè un vettore), il prodotto esterno produce un oggetto con due indici liberi: cioè un tensore di rango $2$, oppure nella terminologia dell’algebra di Clifford, un bivettore.

Geometricamente, un bivettore racchiude l’idea di un piano bidimensionale. In particolare $\textbf a \wedge \textbf b$ rappresenta un parallelogramma definito dai vettori $\textbf a$ e $\textbf b$ (e quindi un piano) e il suo “modulo” ci dà l’area del parallelogramma. In tre dimensioni poiché ad ogni piano corrisponde uno e un solo vettore normale, possiamo rappresentare un piano dando la normale ad $\textbf a$ e $\textbf b$, cioè $\textbf a \times \textbf b$. In più dimensioni ad un piano corrispondono più normali, e quindi lo rappresentiamo con $\textbf a \wedge \textbf b$, un bivettore.

In base al prodotto scalare e al prodotto esterno, entrambi definiti in dimensione arbitraria, possiamo definire un nuovo prodotto tra due vettori in $\mathbb{R}^n$, il prodotto geometrico:

$$ab = a\cdot b + a \wedge b$$

Per non appesantire la notazione non usiamo più il grassetto per denotare i vettori (quindi diciamo $a$ invece di $\textbf a$). Ora possiamo fare una cosa mai fatta prima, cioè possiamo dividere per un vettore (nel senso del prodotto geometrico). Infatti:

$$aa=a \cdot a + a \wedge a = |a|^2 + 0 \implies a \frac{a}{|a|^2} = 1 \implies a^{-1} =\frac{a}{|a|^2} $$

Incredibile! Tutti i vettori diversi da zero hanno un’inversa. Inoltre, dato il calcolo sopra, d’ora in poi scriveremo semplicemente $a^2$ al posto di $|a|^2$.

Per illustrare praticamente che algebra viene fuori dal prodotto geometrico, consideriamo $\mathbb{R}^3$ con la base standard $\{e_1, e_2, e_3\}$. Possiamo calcolare ad esempio:

$$e_1 e_1 = e_1 \cdot e_1 + e_1 \wedge e_1 = 1+0=1$$

quindi insistendo che l’algebra sia chiusa rispetto al prodotto geometrico, $1$ deve appartenere all’algebra. Possiamo anche calcolare:

$$e_1 e_2 = e_1 \cdot e_2 + e_1 \wedge e_2=e_1 \wedge e_2$$

e quindi poiché il prodotto esterno è antisimmetrico, $e_1 e_2 = -e_2 e_1$. Questa proprietà vale in generale: il prodotto geometrico tra vettori ortogonali è antisimmetrico. Notiamo che $e_1 e_2$ è un bivettore, che corrisponde al piano $xy$. Possiamo formare anche

$$e_1 e_3 = e_1 \wedge e_3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{e}\,\,\,\,\,\,\,\,\,e_2 e_3 = e_2 \wedge e_3$$

e questi sono tutti i prodotti possibili a causa dell’antisimmetria. Non abbiamo finito! Possiamo anche calcolare:

$$e_1 e_2 e_3 =(e_1 e_2) e_3=(e_1 \wedge e_2 ) \cdot e_3 + (e_1 \wedge e_2)  \wedge e_3=e_1 \wedge e_2 \wedge e_3$$

Abbiamo posto $(e_1 \wedge e_2 ) \cdot e_3=0$ perché il piano $xy$ è perpendicolare all’asse $z$. Questo è l’unico prodotto possibile di tre vettori, perché per l’antisimmetria gli altri sono equivalenti a qualche cosa che abbiamo già scritto. Ad esempio:

$$e_1 e_2 e_1 = -e_1 e_1 e_2 = -e_2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{oppure} \,\,\,\,\,\,\,\,\,e_2 e_1 e_3 = -e_1 e_2 e_3$$

Siamo arrivati:

Definizione. L’algebra di Clifford su $\mathbb{R}^3$ è lo spazio vettoriale generato dalla base seguente, insieme al prodotto geometrico:

$$\{1, \,\,e_1, e_2, e_3, \,\,e_1 e_2, e_2 e_3, e_1 e_3,\,\, e_1 e_2 e_3\}$$

Lo spazio ha dimensione $2^3=8$. In generale, un’algebra è uno spazio vettoriale su cui è definito un prodotto. Quindi dati due elementi dell’algebra una qualsiasi loro combinazione lineare è di nuovo un elemento dell’algebra, perché è uno spazio vettoriale; inoltre un qualsiasi prodotto di due elementi è un elemento dell’algebra.

Il grado di un elemento è dato da quanti prodotti include. Ad esempio $1$ ha grado $0$, $3e_1$ ha grado $1$, $e_1 e_2$ ha grado $2$ e $e_1 e_2 e_3$ ha grado $3$. Possiamo avere anche elementi di grado misto: $5e_1 + 8e_1 e_2$ è la somma di un elemento di grado $1$ e di uno di grado $2$. A causa dell’antisimmetria, nell’algebra in dimensione $n$ ci sono $n \choose k$ elementi di grado $k$. Pertanto la dimensione dell’algebra è

$$\mathrm{dim}(\mathcal{G})=\sum_{k=0}^n {n \choose k} = 2^n$$

come confermato anche nel caso $n=3$ appena visto.

L’elemento di grado massimo è detto pseudoscalare e di solito è denotato dalla lettera $I$. Nel nostro caso $I=e_1 e_2 e_3$: usando l’antisimmetria dei vettori della base otteniamo $I^2=-1$, quindi lo pseudoscalare in questo caso può essere usato come una specie di unità immaginaria.

L’ultima cosa che ci rimane da definire è il prodotto tra due elementi generici dell’algebra. Poiché non siamo matematici, lo definiamo a partire da una base: ovvero sapendo le regole del prodotto tra gli elementi della base, possiamo calcolare il prodotto di elementi qualsiasi. Ad esempio:

\begin{align*}
(5e_1 + 8e_1 e_2)(e_1+e_2)&=5e_1 e_1 + 8e_1 e_2 e_1 +5e_1 e_2 + 8e_1 e_2 e_2 =\\
&=0 -8e_1 e_1 e_2 + 5 e_1 e_2 + 0 = 5 e_1 e_2
\end{align*}

A questo punto, per definizione, il prodotto scalare tra due elementi generici dell’algebra è l’elemento di grado 0 del prodotto dei due elementi.

Nel prossimo articolo costruiremo altre algebre di Clifford, e poi vedremo come facilitano il calcolo di rotazioni in dimensione arbitraria.