Il problema del razzo è il seguente: abbiamo un razzo nello spazio vuoto (quindi senza campi gravitazionali né attrito dell’aria). Il razzo spara del combustibile dietro di sé ad una velocità costante $u$ per guadagnare velocità. Qual è la velocità del razzo dopo aver sparato una massa $\Delta m$ di combustibile?
Il problema è interessante perché mostra alcune concezioni errate molto diffuse. Non ci si può concentrare solo sul razzo: bisogna considerare insieme il sistema razzo + combustibile espulso. In particolare, la legge di Newton ($F = dp/dt$) vale solo per una particella. Già nel caso di due particelle, essa va rimpiazzata con la legge di Newton per sistemi a più corpi:
$$\frac{d}{dt} {\textbf p_{tot}} = {\textbf F_{est}}$$
dove ${\textbf p_{tot}} = \sum {\textbf p_i}$ è la quantità di moto totale del sistema, e ${\textbf F_{est}}$ sono le forze esterne (le forze di reazione tra due corpi si cancellano a vicenda e non contano).
Nel nostro caso siamo nello spazio vuoto, quindi ${\textbf F_{est}} = 0$. Il problema si svolge tutto in una sola direzione, quindi ci basta considerare l’impulso nella direzione del moto. Abbiamo quindi per la legge di Newton generalizzata:
$$\frac{d}{dt} p_{tot} =\lim_{\delta t \to 0} \frac{p_{tot}(t+\delta t) -p_{tot}(t)}{\delta t} = 0$$
dove $\delta t$ è un intervallo infinitesimale di tempo.
Immaginiamo che il razzo abbia massa $m$ e velocità $v$ all’istante $t$. Il combustibile ancora non è stato emesso, e quindi consideriamo solo il razzo: $p_{tot}(t) = m v$.
All’istante $t+\delta t$ avrà emesso un po’ di combustibile, diciamo $-\delta m$. Il segno meno è dovuto al fatto che $m$ è la massa del razzo, quindi emettendo combustibile la massa diminuisce e pertanto $\delta m < 0$. Il combustibile è emesso con velocità $u$, in senso opposto alla direzione del moto. Dopo l’emissione, il razzo avrà massa $m + \delta m$, con un po’ di velocità in più $v+\delta v$. Quindi l’impulso totale al tempo $t+\delta t$ è data dalla somma dell’impulso del razzo e del combustibile emesso:
\begin{align*}
p_{tot}(t+\delta t) &= (m + \delta m)(v+\delta v) + (v-u)(-\delta m)=\\
&=m v + v \delta m + m \delta v + \delta v \delta m + (u-v) \delta m=\\
&= m v + u \delta m + m \delta v\\
\end{align*}
dove abbiamo ignorato i termini del second’ordine. Da notare
1. Il combustibile ha velocità $v-u$ perché dobbiamo considerare anche la velocità del razzo al momento dell’emissione.
2. Abbiamo fatto la scelta di prendere ($\delta m < 0$) perché la massa del razzo diminuisce. Se avessimo preso ($\delta m> 0$) la massa del razzo all’istante $t+\delta t$ sarebbe stata pari a $m-\delta m$ (forse più “naturalmente”), ma questo sarebbe equivalente a dire che $m$ è la massa del combustibile espulso e non del razzo.
Pertanto la derivata è
$$\frac{d}{dt} p_{tot} =\lim_{\delta t \to 0} \frac{p_{tot}(t+\delta t) -p_{tot}(t)}{\delta t} = \frac{u \delta m + m \delta v}{\delta t} = u \frac{dm}{dt}+m \frac{dv}{dt}=0$$
Questa è un’equazione differenziale che possiamo risolvere. Spostando un po’ di cose:
$$-u \frac{1}{m}\frac{dm}{dt}= \frac{dv}{dt}$$
Integrando otteniamo $-u (\log{m_f}-\log{m_i}) = v_f -v_i$ ovvero l’equazione del razzo:
$$\boxed{\Delta v = u \log{\frac{m_i}{m_f}}}$$
Da notare che quando tutto il combustibile è bruciato, cioè per $m_f \to 0$, $\Delta v \to \infty$. Questo risultato non è realistico: in primo luogo perché il razzo deve avere della massa che non può espellere come carburante (ad esempio il motore) e quindi $m_f$ non può raggiungere lo $0$. In secondo luogo perché ad alte velocità subentrano effetti relativistici che gli impediscono di superare la velocità della luce. In generale, poiché il logaritmo cresce molto lentamente, l’equazione del razzo mostra che è necessario bruciare masse enormi di carburante per riuscire a raggiungere le velocità volute.
Nei prossimi articoli l’esplorazione di alcune varianti: il razzo sotto l’effetto di una forza costante, il razzo a più stadi, il razzo relativistico e il razzo ad antimateria.