Gli integrali sui cammini sono una formulazione molto importante della teoria quantistica dei campi. In questo contesto l’integrale più importante è quello Gaussiano, che può essere risolto esattamente. Consideriamo delle variabili commutanti $\phi_a$ dove $a$ è un indice che può essere discreto o continuo. Allora la formula fondamentale per il funzionale generatore $Z[J]$ è
$$Z[J] = \int D\phi\, \exp{\bqty{-\frac12 \phi_a G_{ab} \phi_b + J_a \phi_a}} = \pqty{\det{G}}^{-1/2} \exp{\bqty{\frac12 J_a \pqty{G^{-1}}_{ab} J_b}} \tag{*}$$
dove la misura d’integrazione è $D\phi = \prod_{a} d\phi_a$, cioè integriamo separatamente su ogni variabile $\phi_a$. Se $a$ è un indice discreto, questa definizione è perfettamente rigorosa; mentre invece se $a$ è un indice continuo allora la definizione è valida solo purché appropriatamente intesa. Nelle formule sopra gli indici ripetuti sono sommati, perciò ad esempio per indici discreti,
$$\phi_a G_{ab} \phi_b \equiv \sum_{a, b} \phi_a G_{ab} \phi_b$$
Mentre invece per indici continui,
$$\phi_x G_{xy} \phi_y \equiv \int dx\,dy\, \phi(x) G(x,y) \phi(y)$$
Nel seguito utilizziamo la notazione discreta, ma i risultati sono validi anche per il caso continuo.
Dimostrazione
Prima di tutto dimostriamo la formula sopra e poi vediamo alcune applicazioni. Poiché $\phi_a G_{ab} \phi_b$ è simmetrico rispetto allo scambio di $\phi_a$ e $\phi_b$, possiamo assumere che $G_{ab}$ è una matrice simmetrica. Poiché è simmetrica, il teorema spettrale garantisce che è diagonalizzabile tramite una matrice ortogonale. Perciò scriviamo in notazione vettoriale $G = P^T D P$ dove $D$ è diagonale e $P$ ortogonale. Allora sempre in notazione vettoriale abbiamo
$$\phi_a G_{ab} \phi_b \equiv \phi^T G \phi = (P\phi)^T D (P\phi)$$
Ora effettuiamo quindi la sostituzione $\widetilde{\phi} = P\phi$. Poiché $P$ è ortogonale ha determinante $\pm 1$ e quindi il Jacobiano della trasformazione è $1$ ovvero $D\phi = D\widetilde{\phi}$. Quindi se gli autovalori di $G$, ovvero i componenti diagonali di $D$, li chiamiamo $\lambda_a$ allora abbiamo
$$(P\phi)^T D (P\phi) \equiv \widetilde{\phi}^T D \widetilde{\phi} = \sum_{a} \lambda_a \widetilde{\phi}_a^2$$
e perciò in totale il funzionale generatore $(*)$ diventa:
$$Z[J] = \int D\widetilde{\phi}\, \exp{\bqty{-\frac12\sum_{a} \lambda_a \widetilde{\phi}_a^2 + \sum_a \widetilde{J}_a \widetilde{\phi}_a}}$$
dove $\widetilde{J}=PJ$ e abbiamo esplicitato le somme. Ora perciò gli integrali sulle variabili $\phi_a$ sono tutti disaccoppiati, perché $\phi_a$ e $\phi_b$ appaiono insieme nell’integranda solo se $a=b$. Perciò
$$Z[J] =\prod_a \int_{-\infty}^{+\infty} d\widetilde{\phi}\, \exp{\bqty{-\frac12\lambda_a \widetilde{\phi}^2 + \widetilde{J}_a \widetilde{\phi}}}$$
dove abbiamo anche tolto l’indice a $\widetilde{\phi}$ perché ora è solo una variabile silenziosa all’interno dell’integrale, mentre invece $J$ e $G$ (e quindi $\lambda$) sono input esterni. Abbiamo anche commesso un abuso di notazione perché prima con $\widetilde{\phi}$ intendevamo il vettore i cui componenti sono $\widetilde{\phi}_a$, mentre ora $\widetilde{\phi}$ è una qualsiasi delle variabili $\widetilde{\phi}_a$. Ora completiamo il quadrato all’interno dell’integrale, ottenendo
$$Z[J] =\prod_a \int_{-\infty}^{+\infty} d\widetilde{\phi}\, \exp{\bqty{-\frac12\lambda_a \pqty{\widetilde{\phi}-\frac{\widetilde{J}_a}{\lambda_a}}^2 + \frac{\widetilde{J}_a^2}{2\lambda_a}}}$$
Ora effettuiamo il cambio di variabile $x = \widetilde{\phi}-\widetilde{J}_a/\lambda_a$ per cui gli estremi di integrazione non cambiano e abbiamo
$$Z[J] =\prod_a \bqty{\exp{\pqty{\frac{\widetilde{J}_a^2}{2\lambda_a}}} \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \exp{\bqty{-\frac12\lambda_a x^2}}}$$
Quest’ultimo è semplicemente un integrale Gaussiano e otteniamo quindi
$$Z[J] =\prod_a \bqty{\exp{\pqty{\frac{\widetilde{J}_a^2}{2\lambda_a}}} \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda_a}}} = \exp{\pqty{\sum_a \frac{\widetilde{J}_a^2}{2\lambda_a}}} \frac{(2\pi)^N}{\sqrt{\prod_a\lambda_a}} $$
dove $N$ è il numero delle variabili $a$. Il fattore di $(2\pi)^N$ è costante e indipendente dai parametri e quindi può essere tranquillamente omesso. Ora notiamo che il prodotto degli autovalori altro non è se non il determinante $\det{G} =\prod_a\lambda_a$. Inoltre abbiamo
$$\sum_a \frac{\widetilde{J}_a^2}{2\lambda_a} = \frac12\sum_{a,b} \widetilde{J}_a (D^{-1})_{ab} \widetilde{J}_b = \frac12\widetilde{J}^T D^{-1} \widetilde{J}$$
dove nell’ultima eguaglianza abbiamo usato di nuovo la notazione vettoriale. Ora invertendo le trasformazioni abbiamo $\widetilde{J} = P J$ e $D^{-1} = P G^{-1} P^T$ e quindi $\widetilde{J}^T D^{-1} \widetilde{J} = J^T G^{-1} J$ e quindi otteniamo la formula finale
$$Z[J] = \pqty{\det{G}}^{-1/2} \exp{\bqty{\frac12 J_a \pqty{G^{-1}}_{ab} J_b}}$$
Valori attesi
Il valore atteso di un’operatore $\mathcal{O}$ è definito nel modo seguente:
$$\expval{\mathcal{O}} = \frac{1}{Z} \int D\phi \,\mathcal{O} \,e^{-\frac12 \phi_a G_{ab} \phi_b}$$
dove $Z \equiv Z[J=0]=\pqty{\det{G}}^{-1/2}$. Ciò risulta particolarmente utile per calcolare le funzioni di correlazione del campo $\phi$. Infatti derivando rispetto a $J$ abbiamo
$$\pdv{}{J_a} Z[J] =\int D\phi \,\phi_a \,e^{-\frac12 \phi_b G_{bc} \phi_c + J_b \phi_b} = \pqty{\det{G}}^{-1/2} \exp{\bqty{\frac12 J_b \pqty{G^{-1}}_{bc} J_c}} \pqty{G^{-1}}_{ab}J_b$$
dove abbiamo usato il fatto che poiché $G$ è una matrice simmetrica, allora anche $G^{-1}$ è una matrice simmetrica. Derivando di nuovo abbiamo
$$\pdv{}{J_a} \pdv{}{J_b} Z[J] =\int D\phi \,\phi_a \phi_b \,e^{-\frac12 \phi_c G_{cd} \phi_d + J_c \phi_c} = \pqty{\det{G}}^{-1/2} \exp{\bqty{\frac12 J_c \pqty{G^{-1}}_{cd} J_d}} \bqty{\pqty{G^{-1}}_{ab} + \pqty{G^{-1}}_{ac}J_c \pqty{G^{-1}}_{bd}J_d}$$
Perciò
\begin{align*}
\expval{\phi_a} &= \frac{1}{Z} \pdv{}{J_a} Z[J] \bigg\lvert_{J=0} = 0\\
\expval{\phi_a \phi_b} &= \frac{1}{Z}\pdv{}{J_a} \pdv{}{J_b} Z[J]\bigg\lvert_{J=0}= \pqty{G^{-1}}_{ab}\\
\end{align*}
Continuando a derivare otteniamo che tutti i termini con un numero dispari di campi sono nulli, e otteniamo inoltre la regola di Wick secondo cui il commutatore generico è dato da tutte le possibili contrazioni dei campi tra di loro, per cui ad esempio
$$\expval{\phi_a \phi_b \phi_c \phi_d} = \pqty{G^{-1}}_{ab} \pqty{G^{-1}}_{cd} + \pqty{G^{-1}}_{ac} \pqty{G^{-1}}_{bd} + \pqty{G^{-1}}_{ad} \pqty{G^{-1}}_{bc} $$