CARAMELLE di Forcone (ψ)

La funzione parte intera $\lfloor x \rfloor$ restituisce la parte intera di $x$, ed il suo grafico è dato da

In questo articolo proviamo ad esprimere la funzione parte intera $\lfloor x \rfloor$ in termini della funzione scalino

$$\theta(x) = \begin{cases}1 & x > 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}$$

Banalmente, potremmo pensare che sia data da una somma infinita di scalini:

$$\lfloor x \rfloor \overset{?}{=} \sum_{n \in \Z} \theta(x-n)$$

ma ciò non può essere vero, perché la sommatoria è infinita per ogni $x$. Ad esempio prendiamo $x=7.5$ allora tutti gli $n \geq 8$ contribuiranno esattamente zero, mentre ogni termine con $n < 7$ contribuirà un valore uguale ad uno. Poiché ci sono infiniti termini con $n < 7$ allora la sommatoria è infinita. Stranamente, l’idea sopra funzionerebbe se ci restringessimo al caso $x > 0$, per cui avremmo

$$\lfloor x \rfloor = \sum_{n \geq 1} \theta(x-n) \quad \quad x > 0$$

Questa è una soluzione valida, ma solo per il caso $x > 0$. Similmente potremmo trovare una soluzione valida in $x < 0$. Tuttavia, non è chiaro se esista una soluzione valida per ogni $x \in \R$.

La situazione diventa ancora più strana se proviamo a calcolare la derivata della funzione scalino. Questa sarà nulla nei valori non interi mentre sarà uguale ad una funzione delta negli interi:

$$\dv{}{x}\lfloor x \rfloor = \sum_{n \in \Z} \delta(x-n)$$

Il prefattore della funzione $\delta$ è uguale ad $1$ perché il salto della discontinuità negli interi è uguale ad uno. Ora sappiamo che $\theta’(x) = \delta(x)$, perciò integrando otteniamo stranamente

$$\lfloor x \rfloor \overset{?}{=} \sum_{n \in \Z} \theta(x-n) + C$$

dove $C$ è una costante. Poiché come abbiamo visto la sommatoria è infinita per ogni $x$, la costante $C$ dev’essere essa stessa uguale a meno infinito, in un qualche senso. Tuttavia non abbiamo fatto molti progressi perché abbiamo ancora una somma del tutto inutilizzabile.

L’idea che ci serve per sbloccarci da questa situazione è di considerare ogni singola “montagnetta” separatamente. Ovvero la regione costante $n < x < n+1$ di $\lfloor x \rfloor$ è data dalla formula

$$n \bqty{\theta(x-n)-\theta(x-n-1)}$$

Ora sommando tutte le montagnette otteniamo

$$\boxed{\lfloor x \rfloor = \sum_{n \in \Z} n \bqty{\theta(x-n)-\theta(x-n-1)}}$$

Questa volta la funzione è effettivamente uguale alla funzione parte intera, perché dato un $x$ qualsiasi, solamente un termine della somma è non-nullo, cioè quello con $n$ tale che $n < x < n+1$, nel caso in cui la somma è uguale a $n$ come dovrebbe. Perciò la somma è anche assolutamente convergente e abbiamo trovato quello che cercavamo.

A questo punto separando le due parti della sommatoria e ridefinendo $n\to n-1$ nella seconda sommatoria otteniamo

$$\sum_{n \in \Z} n \theta(x-n)-\sum_{n \in \Z} n \theta(x-n-1)=\\ \sum_{n \in \Z} n \theta(x-n)-\sum_{n \in \Z} (n-1) \theta(x-n) = \sum_{n \in \Z} \theta(x-n)$$

che è esattamente la somma iniziale. Il punto è che però le due sommatorie separate sono entrambe divergenti, e quindi l’operazione è illegale. Al contrario, calcolando la derivata della sommatoria finale otteniamo delle funzioni delta che non pongono problemi di convergenza (lol) e quindi otteniamo di nuovo che la derivata della funzione parte intera è la somma infinita di funzioni delta che abbiamo visto sopra.