Abbiamo ormai visto il modello di Ising in molte salse. In questo articolo vediamo una rappresentazione alternativa del modello di Ising che non fa più riferimento agli spin. In particolare consideriamo ad esempio un reticolo ipercubico $d$-dimensionale. Basta tenere a mente, ad esempio, un reticolo bidimensionale.
Sappiamo che la funzione di partizione del modello di Ising è data da
$$ Z=\sum_{\{s\}} e^{-H[\{s\}]} \quad \quad \quad H[\{s\}] = -J\sum_{\expval{ij}} s_i s_j $$
Possiamo perciò esprimerla scrivendo
$$ Z=\sum_{\{s\}} \prod_{\expval{ij}} e^{J s_i s_j} $$
In generale, sappiamo che $e^x = \cosh{x} + \sinh{x}$. Inoltre il coseno iperbolico è una funzione pari, mentre il seno iperbolico è una funzione dispari. Perciò poiché $s_i s_j = \pm 1$, abbiamo
$$ Z=\pqty{\cosh{J}}^L \sum_{\{s\}} \prod_{\expval{ij}}\pqty{1 + s_i s_j \tanh{J}} $$
dove abbiamo raccolto un coseno iperbolico per ogni $\expval{ij}$, cioè per ogni arco del reticolo (coppia di primi vicini) e $L$ è il numero di archi nel reticolo. Per semplicità d’ora in poi poniamo $t \equiv \tanh{J}$ e ignoriamo la costante davanti alla funzione di partizione. Ora immaginiamo di svolgere la produttoria. Ciò trasformerà il prodotto in una somma di parecchi termini. Ognuno di questi termini sarà dato dalla scelta o del termine $1$ o del termine $ t s_i s_j $ per ogni arco $\expval{ij}$ nel reticolo. Perciò avremo $2^L$ termini nella somma. Ognuno di questi termini sarà rappresentato nella maniera seguente. Chiamiamo un grafo $G$ un insieme qualsiasi di archi nel reticolo. Poiché ogni arco può essere incluso o meno avremo in totale $2^L$ possibili grafi. Ogni grafo corrisponde ad un termine nello svolgimento della produttoria: se un certo arco è nel grafo, allora scegliamo $ t s_i s_j $, altrimenti scegliamo $1$. Perciò possiamo scrivere
$$Z = \sum_{\{s\}} \sum_{G \in \Omega} t^{\abs{G}} \prod_{\expval{ij} \in G} s_i s_j$$
dove $\Omega$ è l’insieme di tutti i possibili grafi e $\abs{G}$ il numero di archi in $G$ (cioè la cardinalità di $G$). A questo punto vogliamo trasformare la produttoria sugli archi in una produttoria sui siti. Un certo $s_i$ può apparire più volte nel prodotto, perché $G$ può contenere diversi archi che iniziano o finiscono in $i$. Chiamando $d(i,G)$ il numero di archi in $G$ che toccano $i$, abbiamo perciò
$$Z = \sum_{\{s\}} \sum_{G \in \Omega} t^{\abs{G}} \prod_{i} s_i^{d(i,G)}$$
In particolare la somma è ora su tutti i siti $i$ del reticolo; se $G$ non tocca un certo sito $i$, semplicemente avremo $d(i,G)=0$. Ora possiamo integrare via gli spin. La sommatoria su tutte le configurazioni non è altro che una sommatoria su ognuno degli spin,
$$\sum_{\{s\}} \equiv \sum_{s_1 = \pm 1} \sum_{s_2 = \pm 1} \cdots \sum_{s_N = \pm 1}$$
Possiamo quindi spostare ognuna delle sommatorie alla fine e metterla all’interno del prodotto col termine corrispondente,
$$Z =\sum_{G \in \Omega} t^{\abs{G}} \prod_{i}\pqty{ \sum_{s_i=\pm 1} s_i^{d(i,G)} }$$
Ora è chiaro che
$$\sum_{s_i=\pm 1} s_i^{d(i,G)}= 1 + (-1)^{d(i,G)} = \begin{cases} 2 & d(i,G) \, \mathrm{pari} \\ 0 & d(i,G) \, \mathrm{dispari} \end{cases}$$
Perciò se il grafo $G$ ha anche un solo sito con $d(i,G)$ dispari, il corrispondente termine nel prodotto sarà nullo e quindi il grafo non contribuirà alla funzione di partizione. Ne segue che gli unici grafi che contribuiscono sono quelli con $d(i,G)$ pari per ogni $i$. Chiamiamo questi grafi “chiusi” e il loro insieme $\Omega_0$. Se il grafo è chiuso, allora la produttoria è sempre uguale a $2^{N}$, un prefattore costante che omettiamo. Otteniamo quindi
$$Z = \sum_{G \in \Omega_0} t^{\abs{G}}$$
dove $\Omega_0$ è l’insieme dei grafi chiusi. Un grafo chiuso è essenzialmente un cammino sul reticolo che si chiude su se stesso. Tuttavia il grafo può essere anche disconnesso, cioè formato da due cammini chiusi, e può anche avere delle auto-intersezioni. In questo modello, non c’è più nessun riferimento agli spin, eppure è del tutto equivalente al modello di Ising, nel senso che la funzione di partizione è la stessa.
Un caso particolarmente interessante è quello in una sola dimensione. Supponiamo di avere $N$ spin con condizioni al contorno periodiche. Allora esiste un solo cammino chiuso, che è quello che attraversa l’intero reticolo esattamente una volta. Perciò abbiamo due grafi: quello banale (cioè l’insieme vuoto) quello formato dal cammino non-banale. Perciò la funzione di partizione è data da
$$Z =\pqty{2\cosh{J}}^N \sum_{G \in \Omega_0} t^{\abs{G}} = \pqty{2\cosh{J}}^N \bqty{1+ \pqty{\tanh{J}}^N}=\pqty{2\cosh{J}}^N + \pqty{2\sinh{J}}^N$$
dove abbiamo ripristinato il prefattore e in una dimensione $L=N$. Questa formula coincide con la soluzione esatta del modello di Ising in una dimensione, che avevamo trovato in un precedente articolo.