In questo articolo consideriamo alcuni risultati che collegano le classi di coniugazione di un gruppo e i generatori di un gruppo.
Innanzitutto sappiamo che le classi di coniugazione partizionano il gruppo. Tuttavia per generarlo, è sufficiente prendere un solo rappresentante da ognuna delle classi. Abbiamo il seguente risultato, la cui dimostrazione è presa da qui:
Proposizione. Un sottogruppo $H$ che interseca tutte le classi di coniugazione di un gruppo $G$ è l’intero gruppo, cioè $H=G$.
Dimostrazione. Supponiamo che il gruppo $G$ abbia $k$ classi di coniugazione $C_1, \ldots, C_k$. Poiché $H$ interseca ogni classe di coniugazione, cioè contiene almeno un elemento di ogni classe, per ogni $C_i$ abbiamo un $h_i \in H$ tale che $h_i \in C_i$. Coniugando $h_i$ con ogni elemento di $G$ otteniamo tutta la classe $C_i$; poiché le classi di coniugazione partizionano $G$, abbiamo perciò
$$G = \bigcup_{g \in G} \, g H g^{-1}$$
Ora, se $g \in H$ allora $g H g^{-1}=H$. Perciò se $g_1$ e $g_2$ appartengono allo stesso coinsieme in $G/H$, cioè $g_1 g_2^{-1} \in H$, allora $g_1 H g_1^{-1}=g_2 H g_2^{-1}$. Perciò nell’unione sopra è sufficiente prendere l’unione sui coinsiemi $G/H$, ovvero
$$G = \bigcup_{g \in G/H} \, g H g^{-1}$$
Per il teorema di Lagrange, l’insieme $G/H$ ha $\abs{G}/\abs{H}$ elementi, e inoltre ognuno degli insiemi $g H g^{-1}$ ha $\abs{H}$ elementi. Ciò implica che gli insiemi $g H g^{-1}$, con $g \in G/H$, partizionano $G$. Se infatti avessero due elementi in comune, allora la loro unione non avrebbe un numero di elementi uguale a $\abs{G}$. Ma questa è una contraddizione: infatti tutti gli $g H g^{-1}$ contengono l’identità. L’unica via di uscita è che tutti gli $g H g^{-1}$ siano lo stesso insieme, e ciò implica che $G/H$ ha un solo elemento e quindi $\abs{H}=\abs{G}$. Ciò implica che $H=G$. $\square$
Ciò ha per effetto il seguente corollario:
Corollario. Se $\{ C_i \}$ sono tutte le classi di coniugazione di un gruppo $G$, scegliamo un rappresentante $g_i \in C_i$ per ogni classe. Allora gli $\{g_i\}$ generano $G$.
Dimostrazione. Sia $H$ il gruppo generato dai $\{g_i\}$. Allora $H$ interseca ogni classe di coniugazione, perché $H \cap C_i$ contiene almeno $g_i$. Perciò per il lemma precedente $H$ è l’intero gruppo, $H=G$. $\square$
Ciò vuol dire che prendendo un rappresentante per ogni classe di coniugazione riusciamo a generare l’intero gruppo. È inoltre chiaro che se consideriamo tutte le classi di coniugazione, queste sono l’intero gruppo e quindi (banalmente) generano l’intero gruppo. Che succede se invece prendiamo solo alcune classi di coniugazione? Abbiamo innanzitutto il seguente risultato:
Lemma. Un sottogruppo generato da classi di coniugazione è normale.
Dimostrazione. Supponiamo che $H$ sia generato da alcune classi di coniugazione, diciamo $C_a, C_b, \ldots, C_c$. Vogliamo dimostrare che se $h \in H$, allora $g h g^{-1} \in H$ per ogni $g \in G$. Chiamiamo $a_i$ gli elementi in $C_a \cup C_b \cup \cdots \cup C_c$. Allora poiché $H$ è generato dalle classi di coniugazione $C_a, C_b, \ldots, C_c$, ogni elemento $h \in H$ può essere espresso come
$$h = a_1 a_2 \cdots a_k$$
dove ogni elemento può anche apparire più di una volta. Ora sostituiamo $a$ con $g a g^{-1}$ e otteniamo
$$(g a_1 g^{-1}) (g a_2 g^{-1}) \cdots (g a_k g^{-1}) = a (a_1 a_2 \cdots a_k) g^{-1} = g h g^{-1}$$
Poiché i generatori sono l’unione di classi di coniugazione, se $a$ è un generatore anche $gag^{-1}$ è un generatore. Perciò il membro destro è un elemento di $H$ e quindi $g h g^{-1} \in H$ e quindi $H$ è normale. $\square$
Quindi prendendo tutti gli elementi di alcune classi di coniugazione, generiamo un sottogruppo normale. In generale questo non sarà tutto il gruppo. Ad esempio, nel gruppo diedrale $D_4$ con otto elementi abbiamo una classe formata da un singolo elemento, cioè $\{ r^2\}$. Questa classe genera il sottogruppo di ordine due formato dagli elementi $\{1, r^2\}$ che non è tutto il gruppo. Esiste una condizione per cui riusciamo a stabilire se un certo insieme di alcune classi di coniugazione è sufficiente per generare il gruppo? Abbiamo il seguente risultato:
Teorema. Siano $C_1, \ldots C_k$ alcune classi di coniugazione di un gruppo $G$. Supponiamo che $G$ non ammetta nessun carattere irriducibile non banale $\chi$ tale che $\chi(C_i) = \chi(1)$ per ogni $C_i$. Allora le classi di coniugazione $C_i$ generano $G$.
Dimostrazione. Sia $H$ il sottogruppo generato dalle classi $C_i$. Allora per il lemma sopra $H$ è normale, perciò $G/H$ è un gruppo. Chiamiamo $\pi: G \to G/H$ la proiezione canonica $\pi(g) = gH$. Supponiamo che $\rho$ sia una rappresentazione irriducibile di $G/H$; allora abbiamo una rappresentazione di $G$ data da $\widetilde{\rho} = \rho \circ \pi$. In un precedente articolo, abbiamo dimostrato che se $\rho$ è irriducibile, allora anche $\widetilde{\rho}$ è irriducibile.
Notiamo quanto segue: poiché se $h \in H$ abbiamo $\pi(h)=H$, che è l’identità in $G/H$, allora $\widetilde{\rho}(h) = \rho \circ \pi(h) = I$. Perciò il carattere $\widetilde{\chi}$ della rappresentazione $\widetilde{\rho}$ soddisfa $\widetilde{\chi}(C_i)=\widetilde{\chi}(1)$, dato che gli elementi di $C_i$ generano $H$ e quindi appartengono ad $H$. Perciò, dato che $\widetilde{\chi}$ è un carattere irriducibile di $G$, per ipotesi l’unica opzione è che $\widetilde{\chi}$ sia il carattere della rappresentazione irriducibile banale e quindi $\widetilde{\chi}(g)=1$. Segue che anche il carattere $\chi$ di $\rho$ soddisfa $\chi(g)=1$ e quindi è anch’esso il carattere irriducibile della rappresentazione banale di $G/H$. Perciò $\rho$ è la rappresentazione banale di $G/H$. Ma poiché $\rho$ era una rappresentazione irriducibile qualunque, segue che $G/H$ ha una sola rappresentazione irriducibile, quella banale. Esiste un solo gruppo con questa proprietà, cioè il gruppo banale con un solo elemento. Perciò $\abs{G/H}=1$ e quindi $\abs{G}=\abs{H}$. $\square$
Questo criterio è particolarmente utile perché dipende soltanto dalla tabella dei caratteri del gruppo. Infatti supponiamo di voler sapere se certe classi di coniugazione $C_1, \ldots C_k$ generano il gruppo. Allora guardiamo a tutti i caratteri irriducibili e per ogni rappresentazione non banale controlliamo che $\chi(C_i) \neq \chi(1)$; se ciò si verifica, allora $C_1, \ldots C_k$ generano il gruppo.