CARAMELLE di Forcone (ψ)

Abbiamo visto in precedenza la soluzione del modello di Ising con la matrice di trasferimento, e poi abbiamo anche visto come calcolare la magnetizzazione con lo stesso metodo. In questo articolo vediamo come calcolare la funzione di correlazione

$$G(i,j) = \expval{s_i s_j} -\expval{s_i} \expval{s_j}$$

La funzione di partizione è data da

$$Z = \sum_{\{s_i\}} e^{-H(\{s_i\})} = \sum_{s_1}\sum_{s_2}\cdots \sum_{s_N} V(s_1, s_2) V(s_2, s_3) \cdots V(s_{N-1}, s_N)V(s_N, s_1)$$

dove come al solito $s_i = \pm 1$ e

$$V(s_i, s_{i+1}) = \exp{\bqty{ J s_i s_{i+1} + B \frac{s_i+s_{i+1}}{2}}} \quad \quad  V = \begin{pmatrix}e^{(J+B)} & e^{- J}\\ e^{-J}& e^{(J-B)}\end{pmatrix}$$

è la matrice di trasferimento. Abbiamo già calcolato $\expval{s_1}$ nel precedente articolo sulla magnetizzazione, perciò calcoliamo $\expval{s_i s_j}$. Introducendo $s_i$ e $s_j$ nella sommatoria cambia la definizione di alcuni degli $V$. In particolare attacchiamo $s_i$ a $V(s_i,s_{i+1})$, che pertanto diventa

$$\widetilde{V}(s_1, s_2) = s_1 \exp{\bqty{J s_1 s_2 + B \frac{s_1+s_2}{2}}} \quad \implies\\ \widetilde{V} =\begin{pmatrix}\widetilde{V}(1,1) & \widetilde{V}(1,-1)\\ \widetilde{V}(-1,1) & \widetilde{V}(-1,-1)\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}e^{(J+B)} & e^{-J}\\ -e^{-J}& -e^{(J-B)}\end{pmatrix} = \sigma_z V$$

Perciò il risultato finale è che alle posizioni $i$ e $j$ appare una matrice $\sigma_z$. Ciò vuol dire che

$$\expval{s_i s_j} = \frac{\tr{\pqty{V^{i}\sigma_z V^{j-i} \sigma_z V^{N-j} }}}{\tr{\pqty{V^N}}}$$

Usando la proprietà ciclica della traccia troviamo che

$$\expval{s_i s_j} = \frac{\tr{\pqty{\sigma_z V^{j-i} \sigma_z V^{N-(j-i)} }}}{\tr{\pqty{V^N}}}$$

e quindi $\expval{s_i s_j}$ dipende solo dalla distanza $j-i$. Possiamo calcolare di nuovo la traccia inserendo una base di autostati $v_{\pm}$ di $V$, ovvero

$$\begin{align*} \tr{\pqty{\sigma_z V^{j-i} \sigma_z V^{N-(j-i)} }} &= \bra{v_+}\sigma_z V^{j-i} \sigma_z V^{N-(j-i)}\ket{v_+} + \bra{v_-}\sigma_z V^{j-i} \sigma_z V^{N-(j-i)}\ket{v_-}=\\ &=\lambda_+^{N-(j-i)} \bra{v_+}\sigma_z V^{j-i} \sigma_z \ket{v_+} + \lambda_-^{N-(j-i)} \bra{v_-}\sigma_z V^{j-i} \sigma_z \ket{v_-} \end{align*}$$

Ora inseriamo di nuovo la decomposizione spettrale di $V$,

$$V^n = \lambda_+^n \ket{v_+}\bra{v_+}+\lambda_-^n \ket{v_-}\bra{v_-}$$

Ottenendo perciò dopo un po’ di semplificazioni,

$$\lambda_+^{N} \bra{v_+}\sigma_z \ket{v_+}^2 + (\lambda_+^{N-(j-i)} \lambda_-^{j-i}+ \lambda_-^{N-(j-i)} \lambda_+^{j-i}) \bra{v_-} \sigma_z \ket{v_+}\bra{v_+} \sigma_z \ket{v_-}+ \lambda_-^{N} \bra{v_-}\sigma_z \ket{v_-}^2$$

Le espressioni sono già abbastanza complicate, perciò andiamo subito nel limite termodinamico ottenendo

$$\expval{s_i s_j} = \lim_{N\to \infty} \frac{\tr{\pqty{\sigma_z V^{j-i} \sigma_z V^{N-(j-i)} }}}{\tr{\pqty{V^N}}} = \bra{v_+}\sigma_z \ket{v_+}^2 + \pqty{\frac{\lambda_-}{\lambda_+}}^{j-i}\bra{v_-} \sigma_z \ket{v_+}\bra{v_+} \sigma_z \ket{v_-}$$

Perciò sottraendo il pezzo rimanente otteniamo alla fine

$$G(i,j) = \pqty{\frac{\lambda_-}{\lambda_+}}^{j-i} \bra{v_-} \sigma_z \ket{v_+}^2$$

nel limite termodinamico. In particolare notiamo che poiché $\lambda_- < \lambda_+$, allora $G(i,j)$ decresce esponenzialmente all’aumentare della distanza $j-i$. In particolare in generale la funzione di correlazione ha la forma

$$G(i,j) \sim \frac{e^{-\abs{i-j}/\xi}}{\abs{i-j}^{d-2+\eta}}$$

dove $\xi$ è la lunghezza di correlazione, $d$ il numero di dimensioni e $\eta$ un esponente critico. In questo caso perciò troviamo che poiché $d=1$ e non c’è legge di potenza in $G$, allora $\eta=1$. Inoltre la lunghezza di correlazione è

$$\xi^{-1} = \log\pqty{\frac{\lambda_+}{\lambda_-}}$$

Nel caso particolare in cui $B=0$, allora l’espressione si semplifica e abbiamo

$$\xi = -\frac{1}{\log\tanh{J}}$$

Notiamo quindi che $\xi$ è finita per ogni $J$ finito e diventa infinita solo nel limite $J\to \infty$. Al contrario $\xi \to 0$ nel caso in cui $J\to 0$.