Supponiamo che $\chi$ sia il carattere di una rappresentazione irriducibile di un gruppo finito $G$. Allora abbiamo una formula per il prodotto di due elementi,
$$\chi(g) \chi(h) = \frac{\chi(1)}{\abs{G}} \sum_{k \in G} \chi (g k h k^{-1})$$
Per dimostrare quest’affermazione, partiamo dal membro destro. Se $\chi$ è il carattere della rappresentazione $\rho$, allora abbiamo
$$\frac{1}{\abs{G}}\sum_{k \in G} \chi (g k h k^{-1}) = \tr{\pqty{\rho(g) \frac{1}{\abs{G}} \sum_{k \in G}\rho(k h k^{-1}) }}$$
Ora consideriamo separatamente la matrice
$$A \equiv \frac{1}{\abs{G}} \sum_{k \in G}\rho(k h k^{-1})$$
Dimostriamo che $A$ commuta con $\rho$. Abbiamo infatti
$$A \rho(g) = \frac{1}{\abs{G}} \sum_{k \in G}\rho(k h k^{-1} g) = \rho(g) \frac{1}{\abs{G}} \sum_{k \in G}\rho(g^{-1} k h k^{-1} g) \overset{k \to g k}{=} \rho(g) \frac{1}{\abs{G}} \sum_{k \in G}\rho(k h k^{-1}) = \rho(g) A $$
dove abbiamo usato il fatto che sommare su $k$ o su $gk$ è equivalente. Poiché $A$ commuta con una rappresentazione irriducibile, per il lemma di Schur è proporzionale alla matrice identità,
$$A = \lambda 1$$
Possiamo calcolare $\lambda$ prendendo la traccia di entrambi i lati, ottenendo
$$\lambda \chi(1) = \tr{\pqty{\frac{1}{\abs{G}} \sum_{k \in G}\rho(k h k^{-1}) }} = \frac{1}{\abs{G}} \sum_{k \in G}\chi(h) = \chi(h)$$
dove abbiamo usato il fatto che $\chi(k h k^{-1})=\chi(h)$. Sostituendo la formula per $A$ nella relazione iniziale abbiamo quindi
$$\frac{1}{\abs{G}}\sum_{k \in G} \chi (g k h k^{-1}) = \tr{\pqty{\rho(g) \lambda }} = \frac{\chi(g)\chi(h)}{\chi(1)} $$
che conclude la dimostrazione.