Abbiamo visto in un precedente articolo la densità degli stati per una particella massiva in $d=1$ e $d=2$ dimensioni spaziali. In questo articolo deriviamo lo stesso risultato per particelle a massa nulla in $d$ dimensioni spaziali. Se gli stati sono etichettati da un vettore $\vec{n} \in \N^d$ tale che $k_i = 2\pi n_i / L$ dove $L$ è la lunghezza della scatola, se $L$ è molto grande abbiamo
$$\sum_{{\textbf n}} \approx \int d^d {\textbf n} = \frac{L^d}{(2\pi)^d} \int d^d {\textbf k} =\frac{V}{(2\pi)^d} S_{d} \int dk \, k^{d-1} =$$
dove abbiamo chiamato $V=L^d$ il volume $d$-dimensionale della scatola e $S_d = \frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)}$ è il volume della superficie sferica in $d$ dimensioni.
Per una particella libera a massa nulla l’energia è legata alla frequenza tramite la relazione $E = \hbar \omega$ e la frequenza è data in termini della quantità di moto da $\omega(\vec{k})=c\abs{\vec{k}}=ck$. In questo caso cambiamo variabili da $k$ a $\omega$ e perciò otteniamo
$$=\frac{V}{(2\pi c)^d} S_{d} \int d\omega \, \omega^{d-1} $$
e quindi la densità degli stati è data da
$$g(\omega) \overset{?}{=} \frac{V}{(2\pi c)^d} S_{d} \omega^{d-1}$$
Resta da effettuare un’ultima modifica. Tipicamente infatti non sommiamo solo sulla quantità di moto (indicizzata da $\vec n$) ma anche sugli stati di polarizzazione del fotone, che in $d$ dimensioni sono $d-1$. Perciò abbiamo in totale
$$g(\omega) = \frac{V (d-1)}{(2\pi c)^d} S_{d} \omega^{d-1}$$
che è il risultato finale.