Consideriamo un reticolo regolare in una dimensione spaziale. In ogni sito $x$ del reticolo abbiamo uno spin quantistico $\vec{S}_x$ che obbedisce le relazioni di commutazione
$$[S_x^a, S_y^b] = i \delta_{xy} \epsilon^{abc} S_x^c$$
Consideriamo l’Hamiltoniana di Heisenberg antiferromagnetica
$$H = J \sum_{x} \vec{S}_x \cdot \vec{S}_{x+1} = J \sum_i \bqty{ \frac12 \pqty{S_x^+ S_{x+1}^- + S_x^- S_{x+1}^+} + S_x^3 S_{x+1}^3 }$$
dove $S^{\pm} = S^1 \pm i S^2$ sono gli operatori che aumentano/diminuiscono lo spin e $J > 0$ è la costante di accoppiamento. Poiché è positiva, gli spin non vogliono essere allineati, e quindi il modello è antiferromagnetico. Poiché siamo in una dimensione spaziale, il reticolo è sempre bipartito e quindi a livello classico lo stato fondamentale è dato dallo stato di Néel $\ket{\psi}$ in cui gli spin sono antiallineati in siti primi vicini nel massimo valore di spin. Ovvero se abbiamo $S^2 = s(s+1)$, allora $S^3$ varia da $-s$ ad $s$ e quindi lo stato di Néel ha $S_x^3 \ket{\psi} = (-1)^x s \ket{\psi}$ (o anche, in maniera equivalente $(-1)^{x+1}$ invece di $(-1)^x$).
Tuttavia a causa dei termini $S^+ S^-$ e $S^- S^+$ che alzano e abbassano gli spin in siti primi vicini, lo stato di Néel $\ket{\psi}$ non è un autostato dell’Hamiltoniana $H$. Questa è una differenza importante col caso ferromagnetico, in cui su ogni sito gli stati sono identici, perciò i termini $S^+ S^-$ e $S^- S^+$ annichilano lo stato fondamentale classico e quindi lo stato fondamentale quantistico è identico a quello classico. Perciò anche su un reticolo bipartito in cui classicamente l’antiferromagnetismo non è così diverso dal ferromagnetico, nel caso quantistico l’antiferromagnetismo ha delle proprietà particolari e soffre di una certa “frustrazione” di natura puramente quantistica.
Per cercare di capire cosa succede, notiamo che per $s \to \infty$ il sistema diventa classico. Infatti normalizzando la relazione di commutazione tra gli spin per $s$, otteniamo
$$\bqty{\frac{S_x^a}{s}, \frac{S_y^b}{s}} = i \delta_{xy} \epsilon^{abc} \frac{1}{s} \frac{S_x^c}{s} \to 0 \qquad s \to \infty$$
e quindi gli spin commutano in questo limite. Perciò per $s$ grande lo stato di Néel è una buona approssimazione dello stato fondamentale della catena quantistica. Perciò proviamo a capire cosa succede espandendo l’Hamiltoniana in potenze di $1/s$. A tale scopo effettuiamo la trasformazione cosiddetta di “Holstein-Primakov”, di cui abbiamo parlato in un precedente articolo [sdefefefef], esprimendo gli spin in termini di particelle bosoniche $a$ che vivono rispettivamente sui siti pari e dispari del reticolo. Abbiamo
\begin{align}
&i \, \mathrm{pari}: \qquad &S^3 = s -a^\dagger a \ , \quad S^- = \sqrt{2s}\, a^\dagger \pqty{1-\frac{a^\dagger a}{2s}}^{1/2}\\
&i \, \mathrm{dispari}: \qquad &S^3 = -s + a^\dagger a \ , \quad S^- = \sqrt{2s} \pqty{1-\frac{a^\dagger a}{2s}}^{1/2} a
\end{align}
In entrambi i casi, come al solito $S^+ = (S^-)^\dagger$. Possiamo verificare facilmente che se le $a$ soddisfano relazioni di commutazione bosoniche, allora gli $S$ correttamente soddisfano le relazioni di commutazione tra spin che vogliamo. Differenziamo tra siti pari e dispari per tener conto dell’antiallineamento dello stato di Néel per $s$ grande: lo stato di Néel corrisponde al caso in cui il numero di bosoni è zero su ogni sito. Per enfatizzare questo fatto, talvolta si chiamano $a$ le specie bosoniche sui siti pari, e $b$ le specie bosoniche sui siti dispari, ma ciò non ha grande importanza.
Il vantaggio di questa rappresentazione è che permette un’espansione sistematica in potenze di $1/s$, ottenuta espandendo in serie la radice quadrata. Al prim’ordine la radice è circa uno, e quindi $S^- = \sqrt{2s}\, a^\dagger + \mathcal{O}(1)$. Perciò l’Hamiltoniana diventa
$$H = J \sum_{x} \bqty{-s^2 + s \pqty{ a_x^\dagger a_{x} + a_{x+1}^\dagger a_{x+1} + a_x^\dagger a_{x+1}^\dagger + a_x a_{x+1}} + \mathcal{O}(1) }$$
Abbiamo due termini che contano il numero di bosoni per sito, e altri due che creano/annichilano coppie di bosoni in siti primi vicini. Quest’Hamiltoniana è quadratica e quindi può essere diagonalizzata tramite una trasformazione di Bogolyubov. Prima di tutto andiamo nello spazio dei momenti e scriviamo
$$a_x = \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_k e^{-ikx} a_k \qquad \qquad a_k = \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_k e^{ikx} a_x $$
dove $L$ è la lunghezza del reticolo e i momenti $k$ sono multipli interi di $2\pi/L$. La normalizzazione è importante, in modo che gli $a_k$ soddisfino relazioni di commutazione canoniche tra di loro. A meno di costanti, l’Hamiltoniana perciò diventa
$$H = J s \sum_{k} \pqty{ 2 a_k^\dagger a_{k} + e^{ik} a_{k} a_{-k} + e^{-ik} a_{k}^\dagger a_{-k}^\dagger }$$
Il termine con gli esponenziali può essere semplificato notando che
$$e^{ik} a_{k} a_{-k} + e^{-ik} a_{k}^\dagger a_{-k}^\dagger = \cos{k} (a_{k} a_{-k} +a_{k}^\dagger a_{-k}^\dagger) + i \sin(k) (a_{k} a_{-k} -a_{k}^\dagger a_{-k}^\dagger) $$
Entrambi i termini tra parentesi sono simmetrici rispetto a $k \to -k$ ma, poiché il seno è dispari, sommando su $k$ il termine col seno è nullo. Perciò in realtà
$$H = J s \sum_{k} \bqty{ 2 a_k^\dagger a_{k} + \cos{k} \pqty{ a_{k} a_{-k} + a_{k}^\dagger a_{-k}^\dagger} } = Js \sum_{k}\begin{pmatrix} a_k^\dagger & a_{-k} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & \cos{k} \\ \cos{k} & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_k \\ a_{-k}^\dagger \end{pmatrix}$$
Possiamo quindi diagonalizzare questa Hamiltoniana tramite la trasformazione di Bogoliubov che abbiamo visto in un precedente articolo e otteniamo
$$H =2 J s \sum_{k} \sqrt{1-\cos{k}^2} \gamma_k^\dagger \gamma_{k}$$
dove i $\gamma$ sono gli operatori di creazione/distruzione di quasiparticelle che in questo caso corrispondono alle “onde di spin”, cioè alle eccitazioni sopra allo stato di Néel. Notiamo che per $k$ piccolo la relazione di dispersione è lineare,
$$E(k) = 2Js \abs{k}$$
che è la relazione di dispersione di un sistema relativistico a massa nulla. Ciò giustifica l’idea che la fisica a basse energie del sistema sia descritta da una teoria di campo relativistica, come vedremo in un articolo futuro. Inoltre anche espandendo attorno a $k=\pi$ abbiamo di nuovo una relazione di dispersione lineare.