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Archivi categoria: analisi
L’accelerazione della convergenza di una serie: mappe conformi
Una serie è una somma infinita della forma $\sum_{n=0}^\infty a_n$. Perché la serie sia convergente, è necessario (ma non sufficiente) che $\lim_{n\to \infty} a_n = 0$, cosìcché man mano che aggiungiamo, i termini residui saranno sempre meno importanti. Tuttavia se … Continua a leggere
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La somma di Borel
Come abbiamo visto, in generale in teoria quantistica dei campi le serie perturbative sono solo serie asintotiche: cioè forniscono una buona approssimazione sommando un numero finito di termini, ma divergono se li sommiamo tutti. In questo articolo parliamo della somma … Continua a leggere
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Esistenza e convergenza della serie di Fourier
Consideriamo la serie di Fourier di una funzione periodica $f(x)$ definita su $[0, 2\pi)$. Sappiamo tutti che poiché $f$ è periodica, allora la sua serie di Fourier sarà $$f(x) \overset{?}{=} \sum_{n \in \Z} f_n e^{inx}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f_n = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} e^{-inx} f(x)\,dx$$ dove … Continua a leggere
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La trasformata di Fourier della funzione scalino
La famosa funzione scalino, detta anche funzione di Heaviside, è la seguente: $$H(x) = \begin{cases} 1 & x > 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}$$ La sua trasformata di Fourier non è banale da calcolare. Abbiamo $$\widetilde{H}(k) = … Continua a leggere
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L’equazione funzionale di Cauchy
L’equazione funzionale di Cauchy è la seguente: $$f(x) + f(y) = f(x+y)\tag{*}$$ Si chiede di trovare tutte le funzioni $f(x)$ che soddisfino la $(*)$. La soluzione ovvia è $f(x)=\alpha x$ per un qualche $\alpha$. Tuttavia in base alle condizioni che … Continua a leggere
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