Archivi categoria: equazioni differenziali

Supponiamo di avere un’equazione differenziale della forma $$\dot{x}(t) = f(x)$$ Possiamo pensarla come un’equazione di evoluzione temporale; partiamo da una certa posizione $x=x_0$ e al passare del tempo $t$, la posizione $x$ evolve in modo che $\dot{x}(t) = f(x)$. Un … Continua a leggere→

Una funzione armonica è una funzione che soddisfa l’equazione di Laplace: $$\nabla^2 f =0$$ L’equazione di Laplace appare dappertutto in fisica, ed è spesso utile conoscere le proprietà generali delle funzioni armoniche. È un’equazione ellittica, che dunque rappresenta lo stato stazionario … Continua a leggere→

In questo articolo vedremo che diversi tipi di equazioni trasferiscono informazione a velocità diverse. Equazione del calore Consideriamo il problema di Cauchy per l’equazione del calore: $$\frac{\partial \theta}{\partial t} = k \frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2} \,\,\,\,\,\,\,\, \theta(x,0)=f(x)$$ Possiamo risolvere l’equazione usando la … Continua a leggere→

L’equazione di Helmholtz compare spesso in calcoli di fisica: ad esempio nella derivazione dei potenziali ritardati in elettromagnetismo, oppure in certi problemi di scattering in meccanica quantistica. L’equazione è della forma: $$\nabla^2 f({\mathbf x}) +\lambda^2 f({\mathbf x}) = g({\mathbf x})$$ … Continua a leggere→