Archivi categoria: teoria dei gruppi

Consideriamo $\mathbb{R}$ come gruppo additivo. Quali sono i suoi sottogruppi? Proposizione. I sottogruppi non banali di $\mathbb{R}$ sono isomorfi a $\mathbb{Z}$ oppure densi in $\mathbb{R}$. Dimostrazione. Sia $H$ un sottogruppo di $\mathbb{R}$. Se  $H$ è non banale, allora contiene almeno … Continua a leggere→

In un articolo precedente, abbiamo cercato di rispondere alla domanda: dati un gruppo $K$ e un gruppo quoziente $G/K$, è possibile ricostruire il gruppo $G$? Abbiamo visto che ciò è possibile nel caso in cui l’ordine di $K$ e $G/K$ … Continua a leggere→

Il prodotto diretto e il prodotto semidiretto sono due modi di combinare insieme due gruppi per ottenerne un terzo. Per capire la differenza tra i due e l’utilità di ciascuno consideriamo due prospettive: La prospettiva esterna, per cui dati due … Continua a leggere→

In un gruppo abeliano, per definizione, tutti i suoi elementi commutano tra loro. In un gruppo non abeliano ciò non è vero, cioè esiste almeno una coppia di elementi che non commuta. Tuttavia, sembra alquanto improbabile che una sola coppia … Continua a leggere→

Nello studio delle rappresentazioni di un gruppo o di un’algebra, le rappresentazioni irriducibili svolgono un ruolo particolare: sono infatti i “mattoni” con cui costruire le altre rappresentazioni. Esistono però alcuni casi in cui una rappresentazione è riducibile, nella definizione per … Continua a leggere→