Archivi categoria: teoria dei gruppi

È interessante classificare tutti i i gruppi con “poche” classi di coniugazione. Sappiamo che l’elemento identità forma sempre una classe a sé. Perciò se un gruppo ha una sola classe di coniugazione allora è il gruppo con un solo elemento. … Continua a leggere→

Abbiamo visto il teorema di Lagrange, che ha come corollario la proposizione secondo cui se $H$ è un sottogruppo di $G$, allora l’ordine di $H$ divide l’ordine di $G$. Tuttavia, non è detto che valga il contrario: ad esempio il … Continua a leggere→

Il teorema di Lagrange è un teorema di importanza fondamentale nella teoria dei gruppi finiti. In questo articolo vedremo di capire l’intuizione dietro al teorema, la sua dimostrazione e alcune conseguenze. L’intuizione dietro il teorema Possiamo enunciare il teorema di … Continua a leggere→

In questo articolo classifichiamo tutti i gruppi il cui ordine è minore o uguale a 8. Per trovarli tutti, utilizzeremo due teoremi importanti, il teorema di Lagrange e il teorema di Cauchy, di cui abbiamo parlato qui e qui. Invitiamo … Continua a leggere→

Consideriamo $\mathbb{R}$ come gruppo additivo. Quali sono i suoi sottogruppi? Proposizione. I sottogruppi non banali di $\mathbb{R}$ sono isomorfi a $\mathbb{Z}$ oppure densi in $\mathbb{R}$. Dimostrazione. Sia $H$ un sottogruppo di $\mathbb{R}$. Se  $H$ è non banale, allora contiene almeno … Continua a leggere→