Archivi categoria: algebra

Classificazione delle algebre di Clifford #7

Pubblicato il 24 Settembre 2018 da CARAM-L

Possiamo classificare tutte le possibili algebre di Clifford in dimensione finita. A tale scopo mostreremo che sono isomorfe ad alcune algebre di matrici. Il teorema fondamentale per la classificazione è il teorema di Artin-Wedderburn, insieme al risultato seguente: Proposizione. (Semplicità dell’algebra … Continua a leggere→

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Dimostrazione di alcuni fatti sulle algebre di Clifford (#6)

Pubblicato il 17 Settembre 2018 da CARAM-L

Nella serie di articoli sulle algebre di Clifford abbiamo omesso la maggior parte delle dimostrazioni, che invece vedremo in questo articolo. Proposizione (proprietà dello pseudoscalare) Sia $n$ la dimensione dell’algebra. Lo pseudoscalare soddisfa le seguenti proprietà: Se $n$ è dispari, … Continua a leggere→

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Definizione rigorosa di algebra di Clifford e teorema di universalità (#5)

Pubblicato il 10 Settembre 2018 da CARAM-L

Negli articoli precedenti abbiamo esaminato diversi aspetti delle algebre di Clifford, senza però esaminarne i dettagli in modo rigoroso. In questo articolo definiremo con esattezza cos’è un’algebra di Clifford e in base ad essa dimostreremo alcune delle asserzioni fatte in … Continua a leggere→

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Prodotto vettoriale in dimensione diversa da 3

Pubblicato il 27 Agosto 2018 da CARAM-L

È noto che il prodotto vettoriale esiste solo in 3 dimensioni. Utilizzando la notazione di Einstein, possiamo scrivere il prodotto vettoriale tra due vettori come: $$(\mathbf v \times \mathbf w)_i = \epsilon_{ijk}v_j w_k$$ dove abbiamo appunto omesso la somma sugli … Continua a leggere→

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Rivestimento doppio di SO(3) da parte di SU(2)

Pubblicato il 9 Luglio 2018 da CARAM-L

In questo articolo vediamo il rivestimento doppio di $\mathrm{SO}(3)$ da parte di $\mathrm{SU}(2)$. Un rivestimento doppio è un omomorfismo $\Phi: \mathrm{SU}(2)\to \mathrm{SO}(3)$ tale che $\ker \Phi = \mathbb{Z}_2$. La domanda ha applicazioni fisiche nella questione della distinzione tra vettori e … Continua a leggere→

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