Archivi categoria: altra algebra

Consideriamo una matrice complessa $A$. Allora abbiamo la disuguaglianza $$\abs{\tr(A)}^2 \leq r(A) \tr(A^\dagger A)$$ dove $r(A)$ è il rango di $A$. Per dimostrare questa disuguaglianza, utilizziamo la decomposizione di Schur, secondo cui una matrice $A$ arbitraria può essere scritta come … Continua a leggere→

L’identità di Brahmagupta è l’osservazione che il prodotto di due numeri della forma $a^2+n b^2$ per $n$ fisso e $a,b,n \in \Z$ è di nuovo un numero della stessa forma. Infatti abbiamo \begin{align*} (a^2+n b^2)(c^2+n d^2) &= a^2 c^2 + … Continua a leggere→

Supponiamo di avere due matrici $A$ e $B$. Sappiamo che se $A$ e $B$ sono diagonalizzabili e commutano, ovvero $[A,B]=0$, allora $A$ e $B$ sono diagonalizzabili simultaneamente. Ciò significa che esiste una base in cui tanto $A$ quanto $B$ sono … Continua a leggere→

Supponiamo di avere una matrice diagonalizzabile $A$ con un autovalore $\lambda$. Vogliamo quindi costruire il proiettore $P$ che proietta sull’autospazio con autovalore $\lambda$. Poiché $P$ è un proiettore, deve soddisfare $P^2=P$. Chiaramente se conosciamo gli autovettori possiamo costruire manualmente la … Continua a leggere→

Data una matrice simmetrica $A$ possiamo dimostrare che per un vettore normalizzato $\mathbf{x}$ la forma quadratica $\mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ è compresa tra l’autovalore più piccolo e quello più grande di $A$. Questo teorema è in pratica la versione per le … Continua a leggere→