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Derivata dell’esponenziale di una matrice

Pubblicato il 11 Novembre 2024 da CARAM-L

Consideriamo una matrice $X(t)$ che dipende da un parametro $t$. In questo articolo calcoliamo la derivata dell’esponenziale di $X(t)$. Abbiamo $$ \dv{}{t} e^{X(t)} = e^{X(t)} \bqty{ \frac{1 -e^{-\mathrm{ad}_{X(t)}}} {\mathrm{ad}_{X(t)}} \pqty{\dv{X(t)}{t}} }$$ dove $\mathrm{ad}_A$ è la mappa tale che $$\mathrm{ad}_A (B) … Continua a leggere→

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Ogni gruppo-$p$ è nilpotente

Pubblicato il 4 Novembre 2024 da CARAM-L

In un precedente articolo abbiamo classificato tutti i gruppi finiti di ordine uguale o inferiore a $8$ e inoltre abbiamo studiato i gruppi di ordine $pq$ e $p^2q$ dove $p$ e $q$ sono primi. In generale, un gruppo-$p$ è un … Continua a leggere→

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Quali gruppi finiti ammettono rappresentazioni fedeli irriducibili?

Pubblicato il 28 Ottobre 2024 da CARAM-L

Un concetto centrale nella teoria delle rappresentazioni è il concetto di rappresentazione irriducibile. Queste rappresentazioni formano i “mattoni” con cui è possibile costruire ogni altra rappresentazione. Inoltre, ogni gruppo finito ammette una rappresentazione fedele (per il teorema di Cayley ogni … Continua a leggere→

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Una semplice disuguaglianza di Bell

Pubblicato il 14 Ottobre 2024 da CARAM-L

Una semplice versione di “disuguaglianza di Bell”, ispirata dall’articolo originale di Einstein sul “paradosso EPR” è stata derivata da Greenberger, Horne, Zeilinger. Consideriamo uno stato di tre qubit, ovvero tre particelle con spin $1/2$ (cioè due stati). Chiamiamo le tre … Continua a leggere→

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L’analisi delle componenti principali di un insieme di dati

Pubblicato il 7 Ottobre 2024 da CARAM-L

Supponiamo di avere delle serie di dati $x_1, x_2, \ldots x_N$ e $y_1, y_2, \ldots y_N$. Possiamo metterli insieme in una matrice $N \times 2$, $$X = \begin{pmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \vdots & \vdots \\ … Continua a leggere→

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