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Il lemma di Burnside-Cauchy-Frobenius

Nel contesto dei gruppi finiti un risultato che può tornare utile è il lemma di Burnside, che come al solito non è dovuto a Burnside, e perciò è anche detto lemma di Cauchy-Frobenius: Lemma (Burnside-Cauchy-Frobenius). Consideriamo l’azione di un gruppo $G$ su … Continua a leggere

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La disuguaglianza isoperimetrica

Sia $\Omega \subset \R^n$ un sottoinsieme di $\R^n$. Sia $V$ il volume $n$-dimensionale di $\Omega$ e $A$ l’area $(n-1)$-dimensionale del bordo $\partial \Omega$ di $\Omega$. Allora vale la disuguaglianza $$ A^n \geq C_n V^{n-1} \qquad C_n = n^n \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(1+n/2)}$$ Le … Continua a leggere

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La disuguaglianza di Wirtinger

La disuguaglianza di Wirtinger è una famiglia di disuguaglianze valida per funzioni di una variabile reale. Consideriamo una funzione derivabile $y: [0,L] \to \R$. Allora sotto certe ipotesi su $y$ che vediamo tra un momento, vale la seguente disuguaglianza, $$\int_0^{L} … Continua a leggere

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Una disuguaglianza tra tracce di una matrice

Consideriamo una matrice complessa $A$. Allora abbiamo la disuguaglianza $$\abs{\tr(A)}^2 \leq r(A) \tr(A^\dagger A)$$ dove $r(A)$ è il rango di $A$. Per dimostrare questa disuguaglianza, utilizziamo la decomposizione di Schur, secondo cui una matrice $A$ arbitraria può essere scritta come … Continua a leggere

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Un caso particolare del prodotto tra esponenziali di matrici

La formula BCH ci dice che date due matrici $X$ e $Y$, allora $$e^X e^Y = e^Z \\ Z = X+Y + \frac12 [X,Y] + \frac{1}{12}\pqty{[X,[X,Y]]-[Y,[X,Y]]} + \cdots $$ dove la serie è infinita e dipende solo dai commutatori tra … Continua a leggere

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