L’algebra del gruppo $\C[G]$ è lo spazio vettoriale su $\C$ di dimensione $\abs{G}$ i cui elementi sono combinazioni lineari di elementi del gruppo:
$$x \in \C[G] \qquad \leftrightarrow \qquad x = \sum_{g \in G} x_g\, g$$
dove $x_g \in \C$. Chiaramente $\C[G]$ è uno spazio vettoriale, cioè possiamo sommare due elementi e moltiplicarli per degli scalari in $\C$, ovvero
$$x + y = \sum_{g \in G} x_g\, g + \sum_{g \in G} y_g\, g \equiv \sum_{g \in G} (x_g+y_g)\, g\\
\lambda x = \sum_{g \in G} (\lambda x_g)\, g$$
dove $\lambda \in \C$. Tuttavia possiamo anche definire una moltiplicazione tra gli elementi di $\C[G]$ tramite la moltiplicazione sul gruppo, ovvero
$$x y = \pqty{\sum_{k \in G} x_k \, k} \pqty{\sum_{h \in G} y_h \, h} = \sum_{k,h \in G} x_k y_h \, (kh) = \sum_{g \in G} \pqty{\sum_{kh = g} x_k y_h}\, g$$
e ciò rende $\C[G]$ un’algebra.
(Notiamo che c’è chi preferisce lavorare con l’anello del gruppo $\Z[G]$, che è la stessa cosa se non che i coefficienti devono essere numeri interi; in termini pratici, un anello è un’algebra a coefficienti interi)
A cosa serve l’algebra del gruppo? Torna utile in teoria delle rappresentazioni. Infatti supponiamo di avere un omomorfismo tra gruppi $f: G \to H$. Allora abbiamo automaticamente un omomorfismo tra algebre $F: \C[G] \to \C[H]$ dato da
$$x = \sum_{g \in G} x_g\, g \qquad \rightarrow \qquad F(x) = \sum_{g \in G} x_g\, f(g)$$
L’omomorfismo è unico perché è fissato dai suoi valori sulla base dell’algebra, cioè dai suoi valori sugli elementi del gruppo. Ciò ci aiuta in teoria delle rappresentazioni, perché infatti abbiamo
Proposizione. Le rappresentazioni del gruppo $G$ sono in corrispondenza biunivoca con le rappresentazioni dell’algebra $\C[G]$.
In termini di teoria delle rappresentazioni, una rappresentazione di un gruppo $G$ è un omomorfismo $\rho: G \to \mathrm{Aut}(V)$ dove $V$ è uno spazio vettoriale e $\mathrm{Aut}(V)$ il gruppo delle trasformazioni lineari invertibili su $V$. La rappresentazione può quindi essere estesa ad una rappresentazione dell’algebra del gruppo $R: \C[G] \to \mathrm{End}(V)$, dove $R(g)=\rho(g)$ per ogni $g \in G$ ed estesa linearmente. In questo caso $\mathrm{End}(V)$ è il gruppo delle trasformazioni lineari su $V$ (non necessariamente invertibili).
Possiamo anche giocare al contrario: data una rappresentazione $R: \C[G] \to \mathrm{End}(V)$ possiamo definire una mappa $\rho: G \to \mathrm{End}(V)$ ponendo semplicemente $\rho(g) \equiv R(g)$. Perché questa sia una rappresentazione, la trasformazione dev’essere invertibile; abbiamo infatti
$$\rho(g) \rho(g^{-1}) \equiv R(g) R(g^{-1}) = R(g g^{-1}) = R(1) = I$$
dove $I$ è l’identità e abbiamo usato due volte il fatto che $R$ è una rappresentazione dell’algebra. Perciò $\rho(g)$ è invertibile, e quindi $\rho: G \to \mathrm{Aut}(V)$, ed è perciò una rappresentazione del gruppo.
La stessa affermazione può essere riformulata nel modo seguente: una rappresentazione di $G$ è una mappa $G \times V \to V$ dove $V$ è uno spazio vettoriale e per ogni $g$ fisso, la mappa è lineare e invertibile. Da quanto abbiamo visto sopra, la rappresentazione è equivalente ad una mappa $\C[G] \times V \to V$ dove $V$ è uno spazio vettoriale e per ogni $g$ fisso, la mappa è lineare. Una mappa $R \times V \to V$ dove $R$ è un anello e $V$ un gruppo abeliano è detto $R$-modulo. Un modulo altro non è se non una generalizzazione di uno spazio vettoriale in cui gli scalari $R$ non formano un campo ma solo un anello, e l’operazione $R \times V \to V$ è la moltiplicazione per uno scalare. Ogni diversa scelta di mappa $R \times V \to V$ dà luogo ad una diversa scelta per la moltiplicazione e quindi ad un diverso modulo. Abbiamo perciò dimostrato che
Proposizione. Le rappresentazioni di un gruppo $G$ sono in corrispondenza biunivoca con i $\C[G]$-moduli.
Questo modo di vedere le cose ci tornerà utile quando parliamo di rappresentazione ristretta e indotta.