La cromodinamica quantistica è la teoria che descrive l’interazione tra i quark. Abbiamo sei quark, di cui tre “leggeri” ($u, d, s$) e tre “pesanti” ($c,b,t$). Come ben sappiamo, i quark non appaiono come particelle libere ma sono invece confinati: ovvero appaiono solo in gruppi con colore totale nullo. Abbiamo ad esempio il protone ($uud$), il neutrone ($udd$), e anche vari mesoni come i pioni $\pi_0$ ($uu+dd$) o $\pi^{\pm}$ ($ud$).
Questa formulazione della teoria è parecchio strana: perché introduciamo questi quark, se poi non compaiono come particelle? Non potremmo formulare una teoria che coinvolga direttamente le particelle fisiche? Questa idea è sviluppata dalla cosiddetta teoria perturbativa chirale, che è una teoria efficace per le particelle formate dal confinamento dei quark nella cromodinamica quantistica.
Essendo una teoria efficace, è valida solo fino ad una certa scala energetica, ma purché rimaniamo nel suo ambito di validità, riesce a dare delle predizioni analitiche calcolabili in maniera relativamente facile. L’idea è banalmente di sviluppare una teoria basata sul paradigma di Landau-Ginzburg. Ovvero supponiamo di avere una teoria con una simmetria globale $G$, che viene rotta spontaneamente ad un sottogruppo $G \to H$. Allora avremo un parametro d’ordine che vive in $G/H$, e scriviamo una Lagrangiana che contiene tutti i termini rilevanti che siano al contempo $G$-invarianti.
Nel nostro caso in prima approssimazione i tre quark leggeri possono essere approssimati come se avessero massa nulla. In tal caso, la cromodinamica quantistica ha una simmetria globale “chirale” $\SU(3)_L \times \SU(3)_R$. Più in generale, se abbiamo $N_f$ quark a massa nulla, allora la simmetria sarà $\SU(N_f)_L \times \SU(N_f)_R$. La simmetria è rotta spontaneamente dal cosiddetto “condensato chirale” $\expval{q_L^a q_R^b} = v \delta^{ab} \neq 0$ che può essere calcolato numericamente in cromodinamica. La rottura di simmetria prende la forma $\SU(3)_L \times \SU(3)_R \to \SU(3)_{L=R}$. Poiché abbiamo rottura spontanea di simmetria, abbiamo dei bosoni di Goldstone, che hanno quindi massa nulla: questi sarebbero i mesoni leggeri, tra cui i “pioni” che abbiamo visto sopra. Nel mondo reale, i pioni hanno una massa piccola ma non nulla. Questo perché in realtà i quark leggeri hanno una massa (sebbene piccola) e quindi la simmetria chirale non è una simmetriaesatta. Ma poiché appunto le masse dei quark leggeri sono molto piccole, è una buona approssimazione quella di porle a massa nulla e quindi si dice che la simmetria chirale è una simmetria approssimata.
Ora vogliamo quindi costruire la teoria efficace che descrive questa situazione. Una domanda preliminare è perché abbiamo ignorato la simmetria di colore $\SU(3)_c$. Il motivo è che la simmetria di colore è una simmetria di calibro, e quindi non è una simmetria globale: come abbiamo già visto in un precedente articolo, va interpretata come una ridondanza nelle variabili che usiamo per descrivere il sistema, piuttosto che come una vera e propria simmetria. In una teoria efficace, perciò, non compare: il suo effetto è primariamente quello di confinare i quark per formare certe particelle.
Sebbene non sia proprio tecnicamente vero, moralmente abbiamo
$$\SU(3)_L \times \SU(3)_R / \SU(3)_{L=R} \approx \SU(3)$$
per cui è naturale prendere il parametro d’ordine come una matrice unitaria $3 \times 3$ $U \in \SU(3)$. A questo punto possiamo quindi costruire una semplice Lagrangiana con un termine cinetico per $U$:
\begin{equation}
\mathcal{L}_0 = \frac{F^2}{4} \tr\bqty{\partial_\mu U^\dagger \partial^\mu U}
\end{equation}
La traccia è necessaria perché la Lagrangiana è uno scalare, mentre $U$ è una matrice. Inoltre la Lagrangiana deve essere reale. Il coefficiente davanti è una costante di accoppiamento arbitraria, ma non possiamo rimuoverla. Di solito, in teoria dei campi, ad esempio per uno scalare $\phi$, possiamo ridefinire il campo $\phi \to c \phi$ e quindi per convenzione rimuovere la costante dal termine cinetico. In questo caso invece ciò non è possibile, perché $U \in \SU(3)$ è normalizzata, $U^\dagger U = 1$. Quindi dobbiamo tenere la costante di accoppiamento davanti al termine cinetico. La Lagrangiana $\mathcal{L}_0$ è invariante rispetto alla simmetria chirale $\SU(3)_L \times \SU(3)_R$ come richiesto. Poiché $U \in \SU(3)$, possiamo esprimerlo come esponenziale di un elemento dell’algebra di Lie, ovvero $U = \exp{\pqty{i \Phi/F}} \in \SU(3)$, dove $\Phi =\lambda_a \phi^a$ è un elemento dell’algebra di Lie (le $\lambda$ sono le matrici di Gell-Mann) che parametrizza le varie particelle scalari che possiamo costruire a partire dai quark leggeri. Abbiamo inserito $F$ per normalizzare correttamente il termine cinetico delle particelle, come vederemo fra poco.
Sappiamo che nel mondo reale la simmetria chirale è realizzata solo in maniera approssimata, e che è rotta dalle masse dei quark. Perciò aggiungiamo alla Lagrangiana iniziale un termine che rompe la simmetria,
\begin{equation}
\mathcal{L} =\frac{F^2}{4} \tr\bqty{\partial_\mu U^\dagger \partial^\mu U} + \frac{F^2}{2} B_0 \tr\bqty{\mathcal{M} \pqty{U + U^\dagger}}
\end{equation}
dove $\mathcal{M} = \mathrm{diag}(m_u, m_d, m_s)$ è una matrice che contiene le masse dei tre quark leggeri. Questo termine funziona da potenziale, e quindi espandiamo attorno al suo minimo, che è in $U=1$. Perciò scriviamo $U = \exp{\pqty{i \Phi/F}} = 1+i \Phi/F -\Phi^2/(2F^2) + \cdots$ e il termine di massa diventa $\approx -\frac{B_0}{2}\tr\pqty{\mathcal{M} \Phi^2}$.
A questo punto espandiamo tutti i termini e ottenere un’azione per i campi $\phi_a$. Possiamo quindi diagonalizzarla per trovare le combinazioni dei campi che hanno massa definita, e identificarle come particelle in base al loro contenuto in termini di quark, ovvero se un termine di massa per un certo campo include un quark $u$ e un quark $d$, allora sappiamo che è un pione. Il risultato è che parametrizziamo gli scalari nel modo seguente:
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{2}} \Phi = \frac{1}{\sqrt{2}} \lambda_a \phi^a = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \pi^0 + \frac{1}{\sqrt{6}} \eta & \pi^+ & K^+\\ \pi^- & -\frac{1}{\sqrt{2}} \pi^0 + \frac{1}{\sqrt{6}} \eta & K^0 \\ K^- & \overline{K}^0 & -\sqrt{\frac23} \eta \end{pmatrix}
\end{equation}
Perciò vediamo che i pioni sono associati al sottogruppo $\SU(2)$ dato dalle matrici $\lambda_{1,2,3}$. Ciò non è a caso: infatti nel caso in cui abbiamo solo due quark a massa nulla (cioè $u,d$) allora avremo una simmetria chirale approssimata $\SU(2)$, la cui rottura dà luogo ai tre pioni. Al contrario la particella $\eta$ è associata a $\lambda_8$, mentre le altre matrici $\lambda$ sono associate ai kaoni. Con la nostra scelta di parametrizzazione, il termine cinetico dà luogo semplicemente ai termini cinetici (correttamente normalizzati) per le varie particelle che abbiamo scritto. Al contrario, il termine di massa nella Lagrangiana diventa:
\begin{multline*}
-B_0 \bigg[\pqty{m_u+m_d} \pqty{\pi^+ \pi^- + \frac12 \pi^0 \pi^0} + \pqty{m_u+m_s} K^+ K^- +\\+\pqty{m_d+m_s} K^0 \overline{K}^0 + \frac16 \pqty{m_u+m_d+4m_s} \eta^2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \pqty{m_u-m_d} \pi^0 \eta \bigg]
\end{multline*}
e già quindi abbiamo le masse dei vari oggetti:
\begin{align}
\mathrm{pioni}:\,\,\,\,\,\,\,& M_\pi^2 = B_0 (m_u + m_d)\\
\mathrm{kaoni}:\,\,\,\,\,\,\,& M_{K^{\pm}}^2 = B_0 \pqty{m_u+m_s}\\
& M_{K^{0}}^2 = B_0 \pqty{m_d+m_s}\\
\mathrm{eta}:\,\,\,\,\,\,\,& M_\eta^2 = \frac13 B_0 \pqty{m_u+m_d+4m_s}
\end{align}
Nel limite in cui i due quark più leggeri sono degeneri, ovvero $m_u=m_d \equiv \hat{m}$, allora l’accoppiamento $\pi^0-\eta$ sparisce e la formula si semplifica.
Questo approccio al problema può essere generalizzato. Infatti possiamo continuare ad aggiungere ulteriori termini alla Lagrangiana e valutare il loro effetto. Possiamo anche aggiungere effetti elettrodinamici e deboli. Possiamo anche effettuare altri tipi di calcoli, cioè ad esempio sezioni d’urto in problemi di sparpagliamento, tassi di decadimento, come in qualsiasi altra teoria.