Abbiamo visto in un precedente articolo cos’è la fase di Berry. In questo articolo vedremo come la fase di Berry viene fuori naturalmente dalla cosiddetta approssimazione di Born-Oppenheimer.
Consideriamo due particelle quantomeccaniche descritte dall’Hamiltoniana
$$H = \frac{\vec{P}^2}{2M} + \frac{\vec{p}^2}{2m} + V(\vec{R}, \vec{r})$$
L’idea è che una particella, diciamo lo “ione”, sia descritta da lettere maiuscole e abbia una massa $M$ molto più grande della seconda particella, che chiamiamo “elettrone” ed è descritta dalle lettere minuscole. Tra di loro, $\vec{R}$ e $\vec{P}$ soddisfano relazioni di commutazione canoniche, così come $\vec{r}$ e $\vec{p}$.
La terminologia “ione” ed “elettrone” viene dalla fisica della materia condensata in cui gli ioni hanno una massa ben più grande degli elettroni e quindi gli elettroni hanno una velocità molto maggiore degli ioni. Ad esempio nel sistema di riferimento del centro di massa $\vec{P} + \vec{p}=0$ e quindi $v \approx \frac{M}{m} V$. Poiché $M \gg m$ allora $v \gg V$. L’approssimazione di Born-Oppenheimer consiste nel supporre che l’elettrone, essendo molto più rapido, veda lo ione essenzialmente fermo. In altre parole la parte elettronica dell’Hamiltoniana,
$$h(\vec{R}) = \frac{\vec{p}^2}{2m} + V(\vec{R}, \vec{r})$$
può essere risolta considerando $\vec{R}$ come un parametro esterno,
$$h(\vec{R}) \psi_n(\vec{r}, \vec{R}) = \epsilon_n(\vec{R}) \psi_n(\vec{r}, \vec{R})$$
In questo senso l’elettrone vede lo ione in posizione fissa. Possiamo poi tornare all’equazione sopra e ottenere un’Hamiltoniana efficace per gli ioni. Stiamo cioè assumendo che le autofunzioni di $H$ siano della forma $\Psi(\vec{r}, \vec{R}) = \Phi(\vec{R}) \psi(\vec{r}, \vec{R})$ dove $\psi(\vec{r}, \vec{R})$ è un autostato di $h(\vec{R})$. L’Hamiltoniana efficace agirà solo sui $\Phi$. Abbreviando $\ket{\psi_n(\vec{R})}\equiv \ket{n_\vec{R}}$ abbiamo esplicitamente
\begin{align*}
H_{\mathrm{eff}} \Phi(\vec{R}) &= \bra{m_\vec{R}} H \pqty{\Phi(\vec{R})\ket{n_\vec{R}}}=\\
&=\bra{m_\vec{R}} \frac{\vec{P}^2}{2M} \pqty{\Phi(\vec{R})\ket{n_\vec{R}}} + \Phi(\vec{R}) \bra{m_\vec{R}} h(\vec{R}) \ket{n_\vec{R}}=\\
&=-\frac{\hbar^2}{2M}\left[\delta_{mn}\nabla_{\vec{R}}^2 \Phi(\vec{R})+2 \pqty{\nabla_{\vec{R}} \Phi(\vec{R})} \cdot \bra{m_\vec{R}} \nabla_{\vec{R}} \ket{n_\vec{R}}+\right.\\
&+\left. \Phi(\vec{R})\bra{m_\vec{R}} \nabla_{\vec{R}}^2\ket{n_\vec{R}}\right] + \Phi(\vec{R}) \delta_{mn} \epsilon_n(\vec{R})
\end{align*}
Ora, come parte dell’approssimazione di Born-Oppenheimer, poiché gli ioni si muovono lentamente, allora $\vec{R}$ cambia molto lentamente. Perciò possiamo supporre che lo stato degli elettroni non cambi al cambiare di $\vec{R}$, ovvero possiamo supporre che
$$\bra{m_\vec{R}} \nabla_{\vec{R}}\ket{n_\vec{R}} \approx 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{per}\,\,m \neq n$$
Quest’approssimazione è del tutto simile a quella utilizzata nel teorema adiabatico. Al contrario per $n=m$ ci ricordiamo che la curvatura di Berry $\vec{\mathcal{A}}$ è definita esattamente come
$$\vec{\mathcal{A}} \equiv i\bra{n_\vec{R}} \nabla_{\vec{R}}\ket{n_\vec{R}}$$
Resta da semplificare il termine con $\nabla^2$. Abbiamo
\begin{align*}
\bra{m_\vec{R}} \nabla_{\vec{R}}^2\ket{n_\vec{R}} &= \int d \vec{r}\, \psi_m^*(\vec{R}) \nabla_{\vec{R}}^2\psi_n(\vec{R})=\\
&=\nabla_{\vec{R}}\pqty{\int d \vec{r}\, \psi_m^*(\vec{R}) \nabla_{\vec{R}}\psi_n(\vec{R})}-\int d \vec{r}\, \nabla_\vec{R}\psi_m^*(\vec{R}) \nabla_{\vec{R}}\psi_n(\vec{R})=\\
&=\nabla_{\vec{R}}\bra{m_\vec{R}} \nabla_{\vec{R}}\ket{n_\vec{R}}-\bra{m_\vec{R}} \overleftarrow{\nabla}_{\vec{R}} \overrightarrow{\nabla}_{\vec{R}}\ket{n_\vec{R}}=\\
&=-i \delta_{mn}\nabla_{\vec{R}}\cdot \vec{\mathcal{A}}-\sum_{l}\bra{m_\vec{R}} \overleftarrow{\nabla}_{\vec{R}}\ket{l_\vec{R}}\bra{l_\vec{R}} \overrightarrow{\nabla}_{\vec{R}}\ket{n_\vec{R}}=\\
&=-i \delta_{mn}\nabla_{\vec{R}}\cdot \vec{\mathcal{A}}-\delta_{mn}\vec{\mathcal{A}}^2
\end{align*}
Nella terza riga la direzione delle frecce indica la direzione in cui agiscono. Andando dalla terza alla quarta riga e poi di nuovo dalla quarta alla quinta abbiamo applicato l’approssimazione di Born-Oppenheimer $\bra{m_\vec{R}} \nabla_{\vec{R}}\ket{n_\vec{R}}=0$ per $m \neq n$. Notiamo che $\bra{m_\vec{R}} \overleftarrow{\nabla}_{\vec{R}}\ket{l_\vec{R}} = \pqty{\bra{m_\vec{R}} \overrightarrow{\nabla}_{\vec{R}}\ket{l_\vec{R}}}^*$ e quindi bisogna stare attenti con i segni nell’ultimo termine. Ricordiamo che $\vec{\mathcal{A}}$ è reale.
Pertanto nell’approssimazione l’Hamiltoniana è diagonale e dopo un po’ d’algebra otteniamo
$$H_{\mathrm{eff}}=\frac{1}{2M}\pqty{\vec{P}-\hbar \vec{\mathcal{A}}}^2 + \epsilon_n(\vec{R})$$
Ovvero l’Hamiltoniana per gli ioni, ovvero le particelle lente, è diventata l’Hamiltoniana di una teoria di calibro con potenziale vettore $\vec{\mathcal{A}}$ e potenziale scalare $\epsilon_n(\vec{R})$, come avevamo visto ad esempio qui. Ovvero la separazione tra particelle lente e particelle veloci dà luogo naturalmente ad una teoria di calibro e non solo, la fase di Berry appare naturalmente come connessione di calibro.
Un’approssimazione ancora più cruda è quella di ignorare del tutto la variazione degli stati elettronici ponendo anche $\vec{\mathcal{A}}=0$. Allora l’Hamiltoniana efficace è
$$H_{\mathrm{eff}} \approx \frac{\vec{P}^2}{2M} + \epsilon_n(\vec{R})$$
Cioè lo ione è una particella libera in un potenziale dato dagli autostati energetici degli elettroni, di cui tipicamente si sceglie lo stato fondamentale. Quest’approssimazione è eccessiva in questo caso semplice, ma se invece abbiamo un sistema a molti corpi, ad esempio un solido cristallino, allora l’Hamiltoniana prenderà la forma
$$H=H_{\mathrm{ion}}+ H_{\mathrm{el}} + H_{\mathrm{ion}-\mathrm{el}}$$
dove $H_{\mathrm{ion}}$ conterrà un termine cinetico e potenziale per gli ioni, $H_{\mathrm{el}}$ lo stesso per gli elettroni e $H_{\mathrm{ion}-\mathrm{el}}$ è un termine d’interazione. Allora in questo caso risolveremo prima il problema degli autovalori di $H_{\mathrm{el}} + H_{\mathrm{ion}-\mathrm{el}}$ considerando le posizioni degli ioni come parametri esterni, e poi l’approssimazione di Born-Oppenheimer consisterà nel risolvere l’Hamiltoniana ionica $H_{\mathrm{ion}} + E_n$ dove $E_n$ è un livello energetico elettronico, tipicamente quello fondamentale. In questo caso molto complicato anche con l’approssimazione cruda il sistema è molto difficile da risolvere e ha una fisica molto ricca.